Triângulo de Pascal

O Triângulo de Pascal é um triângulo numérico formado por Binômios de Newton (leia o post sobre binômio de Newton) $$\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$$, onde $$n$$ representa o número da linha (posição vertical) e $$K$$ representa o número da coluna (posição horizontal). O triângulo foi descoberto pelo matemático chinês Yang Hui, e 500 anos depois várias de suas propriedades foram estudadas pelo francês Blaise Pascal (Veja Biografia)

Propriedades:

Relação de Stifel.

Cada  número do Triângulo de Pascal é igual a soma do númedo imediatamente acima e do antecessor do número acima $$\begin{pmatrix}n - 1\\k - 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}n - 1\\k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$$

$$\begin{matrix} &\mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{2}&\mathbf{3}&\mathbf{4}&\mathbf{5}\\ \mathbf{0}&1&&&&&\\\mathbf{1}&1&1&&&&\\ \mathbf{2}&1&2&1&&&\\\mathbf{3}&1&3&3&1&&\\ \mathbf{4}&1&4&\underline{\overline{6}}&\underline{\overline{4}}&1&\\ \mathbf{5}&1&5&10&\underline{\overline{10}}&5&1\\ \end{matrix}$$

Portanto:

$$\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}$$

$$6 + 4 = 10$$

Soma de uma linha:

A soma de uma linha no Triângulo de Pascal é igual a $$2^n$$.

$$\begin{matrix} &\mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{2}&\mathbf{3}&\mathbf{4}&\mathbf{5}&\mathbf{6}&\mathbf{2^{n}}\\ \mathbf{0}&1&&&&&&&{2^{0}=1}\\\mathbf{1}&1&1&&&&&&{2^{1}=2}\\ \mathbf{2}&1&2&1&&&&&{2^{2}=4}\\\mathbf{3}&1&3&3&1&&&&{2^{3}=8}\\ \mathbf{4}&1&4&6&4&1&&&{2^{4}=16}\\ \mathbf{5}&1&5&10&10&5&1&&{2^{5}=32}\\ \mathbf{6}&1&6&15&20&15&6&1&{2^{6}=64} \end{matrix}$$

Soma de uma coluna

A soma da coluna, no triângulo de Pascal, pode ser calculada pela relação

$$\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n + 1\\n\end{pmatrix} + ... + \begin{pmatrix}n + k\\n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n + k + 1\\n + 1\end{pmatrix}$$

$$\begin{matrix} &\mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{2}&\mathbf{3}&\mathbf{4}&\mathbf{5}&\mathbf{6}\\ \mathbf{0}&1&&&&&&\\\mathbf{1}&1&\underline{\overline{1}}&&&&&\\ \mathbf{2}&1&\underline{\overline{2}}&1&&&&\\ \mathbf{3}&1&\underline{\overline{3}}&3&1&&&\\ \mathbf{4}&1&\underline{\overline{4}}&6&4&1&&\\ \mathbf{5}&1&5&\underline{\overline{10}}&10&5&1&\\ \mathbf{6}&1&6&15&20&15&6&1 \end{matrix}$$

Portanto:

$$1 + 2 + 3 + 4 = 10$$

Simetria

O triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura, se escrito da seguinte forma:

$$\,\! \begin{matrix} {\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\&&1\\&1&\\1&&7\end{matrix}} & {\begin{matrix}&&&&1&&&&\\&&&1&&1&&&\\&&1&&2&&1&&\\&1&&3&&3&&1&\\1&&4&&6&&4&&1\\&5&&10&&10&&5&\\6&&15&&20&&15&&6\\&21&&35&&35&&21&\end{matrix}} & {\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\1&&\\&1&\\7&&1\end{matrix}} \end{matrix}$$

Isso se deve ao fato de que: $$\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}= \frac{n!}{k!(n - k)!} = \frac{n!}{(n - k)!k!} = \begin{pmatrix}n\\n - k\end{pmatrix}$$