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segunda-feira, 15 de fevereiro de 2010

A Matemática dos Cubos às Fatias

Um método importante para compreender um objecto tridimensional é cortá-lo por uma série de planos paralelos, e observar as fatias bidimensionais assim criadas. Por exemplo, num exame TAC o médico obtém uma série de imagens a duas dimensões dum corpo humano, a partir das quais vai reconstruir uma imagem tridimensional.
Podemos empregar uma estratégia semelhante na tentativa de compreender melhor um objecto tetradimensional. Podemos cortá-lo segundo fatias produzidas por hiperplanos tridimensionais paralelos, observar as fatias produzidas e tentar reconstruir o objecto tetradimensional que as originou.
Para isso, olhamos atentamente para o processo que nos permite compreender um objecto tridimensional simples, como um cubo. Claro que um cubo pode ser seccionado de várias maneiras (ver os filmes das fatias de um cubo), mas a mais interessante é quando o plano que define a fatia é ortogonal à maior diagonal do cubo. Isto é, começamos num vértice, cortamos sucessivamente o cubo até atingirmos o vértice oposto.
No princípio as fatias são triângulos equiláteros (um vértice por cada aresta seccionada e uma aresta por cada face). Conforme vamos cortando mais, estes triângulos vão crescendo, até que a fatia atinge os três vértices adjacentes ao inicial. Os cortes seguintes apresentam a forma de triângulos truncados até que, a meio caminho, se apresentam como hexágonos regulares. Neste momento todas as faces do cubo estão a ser seccionadas da mesma forma. Continuando vamos encontrar as mesmas formas, por ordem inversa, três lados do hexágono crescem enquanto os outros diminuem, até que atingem três vértices, e temos triângulos de novo. Os triângulos encolhem até atingirmos o vértice oposto ao inicial.
Esta sucessão de fatias é ilustrada em Cubos às Fatias pelas imagens planas sob os objectos tridimensionais. Podemos ver o triângulo máximo quando o plano corta o primeiro conjunto de três vértices, o triângulo truncado, e, no centro, o hexágono regular. Esta sequência inverte-se quando continuamos para a direita. O cubo em si é representado pelas linhas azuis escuras. Estas formam uma vista do cubo correspondente a ter a fonte luminosa directamente sobre um vértice do cubo (para mais pormenores ver os filmes das projecções ortográficas do cubo).
Tendo compreendido as fatias de um cubo, podemos tentar usar essa compreensão na tentativa de visualização do hipercubo baseada nas suas fatias tridimensionais, que são produzidas por hiperplanos ortogonais à sua diagonal maior. Nesta situação, a primeira fatia corta um vértice.Como há quatro arestas incidentes em cada vértice, o hiperplano intersecta cada uma delas gerando-se assim quatro vértices na fatia. Há quatro faces cúbicas que se encontram no vértice que está ser cortado, portanto cada um deles é também cortado pelo hiperplano. De cada um destes cubos está a ser tirado um vértice, portanto o corte forma um triângulo em cada um dos cubos, exactamente como vimos acima. Cada cubo contribui então com um triângulo para o corte do hipercubo, portanto a fatia tem de ser um tetraedro imerso no hiperplano em questão, um sólido regular já contemplado por Platão.
À medida que avançamos a cortar o hipercubo, este tetraedro cresce até atingir os quatro vértices adjacentes ao que está a ser destacado pelo corte. Esta situação está ilustrada à esquerda. Passando estes quatro vértices, os cantos do tetraedro começam a ser truncados, exactamente como o triângulo era truncado nos corte do cubo. De facto, neste ponto, as quatro faces cúbicas estão a ser seccionadas da mesma forma, atingindo todas as intersecções a certo momento a forma hexagonal. Os outros quatro cubos do hipercubo começam agora a ser cortados, e cada um perde assim um vértice, gerando intersecções triangulares. Juntos, os quatro hexágonos e os quatro triângulos formam uma figura semi-regular que se chama tetraedro truncado, um sólido arquimedeano, e que pode ser visto no segundo corte.
Passando este ponto os hexágonos transformam-se de triângulos truncados de novo, e os outros triângulos crescem. Quando se atingir outro conjunto de vértices, os triângulos truncados tornam-se triângulos. Neste momento todos os oito cubos do hipercubo estão a ser seccionados, contribuindo cada um com um triângulo para o corte, gerando-se um octaedro, outro sólido platónico, que é a nossa imagem central. Este poliedro regular tem por vértices seis dos vértices do hipercubo.
Quando continuamos esta sequência inverte-se. Passando estes seis vértices, quatro das faces do octaedro tornam-se hexágonos, mas trata-se das faces opostas às anteriores. Vemos de novo o tetraedro truncado (o quarto corte na figura). Quando o hiperplano passa mais quatro dos vértices do hipercubo temos de volta o tetraedro (imagem à direita). A partir daqui vemos o tetraedro encolher até desaparecer no vértice oposto ao do início dos cortes. Na projecção do hipercubo que usamos, tanto o vértice inicial como o final se encontram no centro da figura; ver os filmes das fatias de um hipercubo para uma descrição mais completa desta e doutras sequências.

Fonte: Para Além da Terceira Dimensão. - por Thomas F. Banchoff e Davide P. Cervone

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