Condições de Cauchy-Riemann

Consideremos uma função $$f(z) = f(x + iy) = u + iv $$ sendo $$u = u(x, y)$$ e $$v = v(x, y)$$. Se existe a derivada de $$f$$ em um ponto $$z_0 = (x_0 + y_0)$$, $$f(z_0)$$, então as derivadas parciais das funções $$u$$ e $$v$$ em $$z_0$$ satisfazem as condições $$u_x(x_0,y_0) = v_y(x_0,y_0)$$ e $$u_y(x_0,y_0) = -v_x(x_0,y_0)$$.


$$u_x(x,y)=v_y(x,y)$$ e $$u_y(x,y)=-v_x(x,y)$$ são chamadas condições ou equações de Cauchy-Riemann [C–R] e são usadas para decidir se uma função complexa $$f$$é derivável em um ponto. Caso uma destas condições não seja satisfeita em um ponto , é suficiente para afirmarmos que $$f$$ não é derivável (e portanto, não é analítica) neste ponto.

As condições de Cauchy-Riemann nos diz se a função $$f$$ é derivável ou não em um ponto, mas não nos informa quem é a derivada neste ponto. Para isto enunciamos o teorema.

Teorema:
Seja a função $$f(z) = f(x, y) = u(x, y) + i v(x, y)$$ com as derivadas parciais $$u_x, u_y, v_x e v_y$$ funções contínuas. Então $$f$$ é derivável em $$z_0 = (x_0,y_0)$$ se, e somente se $$u_x = v_y$$ e $$u_y = -v_x$$ em $$z_0$$ e $$f(z_0)= u_x(z_0) + iv_x(z_0)$$

Fonte - PUCRS - Pontifícia  Universidade Católica do Rio Grande do Sul.