O último teorema de Fermat

O último teorema de Fermat, assim como ficou conhecido, se originou de uma pequena observação escrita por Fermat às margens de uma tradução do Arithmetica de Diofanto.

Teorema [Último teorema de Fermat]: não existem inteiros x,y,z tais que xⁿ + yⁿ = zⁿ para n>2.

O caso em que n=2 é conhecido como Teorema de Pitágoras e diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Existem obviamente infinitas soluções para esse caso, (3,4,5) é o exemplo mais comum. No entanto se na equação acima trocar a potência 2 por 3, não existem x,y,z que satisfaçam a igualdade. Trocando novamente a potência 3 por 4 e assim por diante Fermat observou que obtinha equações que não tinham soluções. Assim surgiu a conjectura¹.

Após suas conclusões Fermat deixou indícios que saberia demostrar a sua conjectura nas margens de seu livro.

"Encontrei uma demonstração verdadeiramente maravilhosa disto, mas esta margem é estreita demais para contê-la."

A partir daquele momento, nascia o problema que iria confundir e frustrar os matemáticos mais brilhantes do mundo por mais de 350 anos. O último teorema de Fermat, tornou-se o Santo Graal da matemática.

A fama do último teorema de Fermat deriva unicamente da tremenda dificuldade em demonstrá-lo. No entanto, os comentários de Fermat na margem do seu livro serviam como um desafio ao mundo. Este problema é imensamente difícil e, no entanto, pode ser enunciado de uma forma que qualquer estudante possa entender. À medida em que os anos foram se passando, mais e mais matemáticos brilhantes se viram derrotados e frustrados por fracassarem em sua prova: o último teorema de Fermat ganhava notoriedade.

Pierre Fermat foi o matemático mais importante de sua época no entanto nunca teve formalmente a matemática como a principal atividade de sua vida. Jurista e magistrado por profissão, dedicava à Matemática apenas suas horas de lazer.

"Fermat é um fanfarrão." (Descartes)

Uma prova elegante em matemática é uma prova pequena e simples. Em 1995, Andrew Wiles um matemático britânico demonstrou o último teorema de Fermat usando uma matemática avançadíssima e nada elegante.

Supondo que Fermat soubesse a solução, (existem pessoas que desconfiam que Fermat era realmente um fanfarrão), haveria uma demonstração mais simples para o último teorema, usando os conhecimentos matemáticos do século XVII. Mas isto é um outro problema...

Observações

Este teorema não tem aplicação nenhuma per se: ele toma um valor importante, no entanto, devido às idéias e às ferramentas matemáticas que foram inventadas e desenvolvidas para prová-lo. Pode-se entender este teorema graficamente considerando-se a curva da equação
xⁿ + yⁿ = 1 quando n > 2, essa curva não passa por nenhum ponto com coordenadas racionais diferentes de zero.

Glossário

1. Em matemática uma conjectura é uma conclusão que apesar de não ter sido demonstrada, isto é ainda não existe uma prova, parece ser uma verdade incontestável pois de alguma forma não existem contra-exemplos para invalidar a tese.