Baricentro

As três medianas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto que divide cada mediana em duas partes tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra.

Se $$\overline{AM_1}\text{,}\overline{BM_2}\text{,}\overline{CM_3}$$ são as medianas $$\Longrightarrow\left\{\begin{array}{rc}1)&\overline{AM_1}\cap\overline{BM_2}\cap\overline{CM_3} = \left\{G\right\}\\2)&\overline{AG}=2.\overline{GM_1}\text{,}\overline{BG}=2.\overline{GM_2}\text{,}\overline{CG}=2.\overline{GM_3}\end{array}\right.$$


Demonstração

Seja $$X$$ o ponto tal que:

$$\overline{BM_2}\cap\overline{CM_3} = \left\{X\right\}$$

Considerando os ponstos médios D e E de $$\overline{BX}$$ e $$\overline{CX}$$, temos o seguinte:

$$\left\{\begin{array}{rc}\bigtriangleup{ABC}, \overline{AM_3}\equiv\overline{BM_3},\overline{AM_2}\equiv\overline{CM_2}\Longrightarrow\overline{M_2M_3}// \overline{BC}, \overline{M_2M_3}=\frac{\overline{BC}}{2}\\ \bigtriangleup{XBC} , \overline{XD}\equiv\overline{BD}, \overline{XE}\equiv\overline{CE} \Longrightarrow \overline{DE}// \overline{BC}, \overline{DE} = \frac{\overline{BC}}{2}\end{array}\right$$

$$\Longrightarrow\overline{M_2M_3}// \overline{DE}, \overline{M_2M_3}\equiv\overline{DE} \Longrightarrow$$ $$M_2M_3DE$$ é paralelogramo $$\Longrightarrow \left\{\begin{array}{rc}\overline{DX}\equiv\overline{XM_2} \Longrightarrow \overline{BX}=2.\overline{XM_2}&(1)\\ \overline{EX}\equiv\overline{XM_3}\Longrightarrow\overline{CX}=2.\overline{XM_3}&(2)\end{array}\right.$$

Logo, a mediana $$\overline{BM_2}$$ intercepta a mediana
$$\overline{CM_3}$$ num ponto X tal que:
$$\overline{CX} = 2.\overline{XM_3}$$

Se tomarmos as medianas $$\overline{AM_1}$$ e $$\overline{CM_3}$$ e sendo Y o ponto tal que:
$$\overline{AM_1}\cap\overline{CM_3} = \left\{Y\right\}$$, de modo análogo concluimos que:
$$\overline{CY} = 2.{YM_3}&(3)$$ e $$\overline{AY}=2.\overline{YM_1}&(4)$$

De (2) e de (3) temos que X = Y.
Chamando este ponto X = Y de G e considerando (1), (2) e (4), temos:
$$\overline{AM_1}\cap\overline{BM_2}\cap\overline{CM_3} = \left\{G\right\}$$ e
$$\overline{AG} = 2.\overline{GM_1}, \overline{BG} = 2.\overline{GM_2}, \overline{CG} = 2.\overline{GM_3}$$

Baricentro - Definição

O ponto de interseção (ou ponto de encontro, ou ponto de concurso) das três medianas de um triângulo é o baricentro do triângulo.
G é o baricentro do $$\bigtriangleup{ABC}$$.

Leia mais em: O Baricentro da Mente

Fonte: Fundamentos da Matemática Elementar - Atual Editora - Dolce, Osvaldo e Pompeo, José Nicolau