Fractais

Caros leitores,

Nos próximos posts escreveremos sobre os fractais. Com a morte de Mandelbrot  resolvemos conhecê-los melhor  e achamos esse tema muito interessante, por isso resolvemos compartilhar com vocês. Nesse primeiro, está relatada a cronologia desta incrível geometria. Esperamos que gostem.

"A Geometria dos Fractais não é apenas um capítulo da Matemática, mas também

uma forma de ajudar os Homens a verem o mesmo velho Mundo diferentemente"

- Benoît Mandelbrot

Cronologia

Há mais de dois mil anos, Euclides, segundo conta a tradição, enquanto caminhava pela praia, notou que a areia, vista como um todo, se assemelhava a uma superfície contínua e uniforme, embora fosse composta por pequenas partes visíveis.

Desde então, empenhou-se em tentar provar, matematicamente, que todas as formas da natureza podiam ser reduzidas a formas geométricas simples (cubos, esferas, prismas).

Concentrado sobretudo nas formas, deixou de lado um elemento importantíssimo neste tipo de análise: a dimensão. No entanto, inconscientemente, esta foi a chave para o pensamento inicial de Euclides, já que um grão de areia, considerado isoladamente, apresenta três dimensões (largura, altura e profundidade), enquanto que a superfície arenosa da praia é visualmente plana (com duas dimensões).

Século XII

Newton e Leibniz criaram o cálculo, com as suas técnicas de "diferenciação" em termos geométricos, para assim poderem encontrar a tangente e a curva em qualquer ponto dado. No entanto, algumas funções eram descontínuas e, não tinham tangentes nem pontos isolados.

1870 

• Weierstrass descreveu uma função que era contínua, mas não era diferenciável, isto é, em nenhum ponto se podia descrever uma tangente à curva. 
• Quase simultaneamente, Cantor criou um método simples de transformar uma linha numa poeira de pontos, que apesar de não passar de pontos isolados no intervalo [ 0, 1 ], tem mais pontos do que os números racionais, ou seja, tem uma quantidade não numerável de pontos.
• Peano, por seu lado, gerou pela primeira vez uma curva ondulada, que tocava em cada ponto do plano.

Todas estas formas pareciam sair das categorias usuais de linhas unidimensionais, bidimensionais e planos tridimensionais, daí o fato pelo o qual a maioria ser vista como "casos patológicos".

1880

Poincaré ao analisar a estabilidade do sistema solar, desenvolveu um método qualitativo no qual cada ponto representava uma diferente órbita planetária, criando, o que hoje podemos chamar topologia.

Revelou ainda que enquanto muitos movimentos iniciais velozmente caíam em curvas familiares, algumas eram deveras estranhas, "caóticas", cujas órbitas nunca se tornavam periódicas e previsíveis.

1935

O ponto de partida para um matemático bastante célebre, Benoît Mandelbrot foi precisamente a questão da dimensão, que tinha "escapado" a Euclides.

Mandelbrot descreveu matematicamente a ideia original de Euclides, acrescentando a essa ideia a questão da dimensão,e foi deste modo que surgiu a geometria dos fractais.

Num tempo em que o treino matemático francês era fortemente analítico, Benoît Mandelbrot visualizava os problemas sempre que possível, de forma a também os poder resolver em termos geométricos.

 1958

Mandelbrot juntou-se à IBM e iniciou uma análise matemática do ruído electrônico começando a perceber a estrutura presente nele: as hierarquias de flutuações de todos os tipos que não podiam ser descritas pelos métodos estatísticos existentes. Assim, à medida que os anos foram decorrendo, diversos problemas que não pareciam relacionados, foram se unindo cada vez mais, dando origem ao nome: Geometria Fractal.

Anos mais tarde

Outros investigadores, ao tentar compreender a flutuação, como por exemplo o ruído; séries de preços em economia; ou o percurso de partículas no movimento browniano de fluídos, puderam comprovar que os modelos tradicionais não correspondiam aos dados. Embora, estas pesquisas parecessem sem relação, estavam a convergir para um objetivo comum.

Embora não aparentem, os fractais podem ser encontrados em todo o universo natural e em toda a ciência, desde o aspecto das nuvens, montanhas, árvores e relâmpagos, até à distribuição das galáxias e à economia de stocks e mercados.

Assim, o impacto dos fractais e da geometria fractal é bem evidente, quer na engenharia, nas comunicações telefônicas, na química, na metalúrgica, na arte, na matemática e até no estudo de doenças crônicas e  em outros campos da medicina. Por exemplo, na década passada, alguns estudos revelaram que um coração saudável bate a um ritmo fractal e, que um batimento cardíaco quase periódico, é um sintoma de insuficiência cardíaca.

Texto retirado de O Mundo dos Fractais