Os Poliedros de Platão

O que é um poliedro?

 Trata-se de um objeto com muitas faces.
 Um poliedro tem “bicos”, que são os ângulos poliédricos, e faces planas, que são os polígonos.

 Um poliedro que tenha com faces apenas polígonos regulares, todos idênticos, e que também apresente todos os bicos (ângulos poliédricos) idênticos entre si é um poliedro regular.

 Platão, por volta do século VI antes de Cristo, estudou certa classe de poliedros; que vieram posteriormente, ser conhecidos como os poliedros de Platão, entre os quais se incluem os poliedros regulares.
 

 De um poliedro de Platão, exige-se que:
* Todas as faces sejam polígonos, regulares ou não, mas com o mesmos número de lados;
* Todos os bicos sejam formados com o mesmo número de arestas.

Por que só existem cinco Poliedros Platônicos?

 

A "Teoria" de Platão  
 

Sabemos que no espaço existem apenas cinco poliedros regulares, que são denominados Poliedros Platônicos ou Poliedros de Platão.

Os poliedros regulares são conhecidos assim porque no  "Timeu" Platão faz uma associação dos cinco poliedros regulares com os cinco elementos da natureza. Ele associa o Tetraedro como "elemento de origem do Fogo" , o Cubo à Terra, o Octaedro ao Ar, o Icosaedro à Água e o Dodecaedro representaria a imagem do Universo no seu todo.  
 

 
 
 

Verificando que só existem cinco Poliedros Platônicos  
 

Um poliedro diz-se regular se é convexo, isto é, os ângulos de dois lados formados por duas faces consecutivas é menor que 180°, se todas as suas faces são formadas por polígonos regulares. Os poliedros que tem essas características são denominados  Poliedros Platônicos, que são os seguintes sólidos:  

Sabemos que existem apenas cinco poliedros platônicos. Podemos verificar que isso é verdade através do seguinte argumento:

Em cada vértice de um poliedro teremos o encontro de pelo menos três de suas faces. O ângulo formado por essas faces deverá ser menor que 360° para que esse poliedro seja regular.

Analisando cada caso observamos que:

Para o caso de 3 faces ligadas a um vérice:

- Quando as faces do poliedro forem triângulos (ângulo interno 60°), teremos 3 * 60° = 180°.

-Quando as faces do poliedro forem quadrados (ângulo interno 90°), teremos 3 * 90° = 270°.

-Quando as faces do poliedro forem pentágonos (ângulo interno 108°), teremos  3 * 108° = 324°.

-Quando as faces do poliedro forem hexágonos (ângulo interno 120°), teremos  3 * 120° = 360°, o que contradiz a nossa hipótese.

Logo, verificamos para esse caso que as faces dos poliedros regulares não podem ser formadas por polígono regulares com mais de cinco lados.

Para o caso de 4 faces ligadas a um vértice: - Quando as faces do poliedro forem triângulos, teremos 4 * 60° = 240°. -Quando as faces do poliedro forem quadrados, termos 4 * 90° = 360°, o que contradiz a nossa hipótese. Logo, verificamos para esse caso que um poliedro regular construído com 4 faces a partir de um vértice, poderá ter apenas faces triângulares.

Para o caso de 5 faces ligadas ao mesmo vértice: - Quando as faces do poliedro forem triângulos, teremos 5 * 360° = 300°. Do mesmo modo que foi verificado no caso anterior, concluimos que não poderemos ter polígonos com mais de 3 lados, com cinco faces ligadas ao mesmo vértice.

Fonte: UFRGS - Universidade Federal do Rio Grande do Sul