Que importância têm os números imaginários na nossa vida?

Apesar de se provar a existência dos números complexos, eles continuam a ser estranhos para nós, pois têm menos relação com o mundo real que os outros números já nossos conhecidos. Um número imaginário não serve para medir a quantidade de água num copo nem para contar o número de dedos que temos!

No entanto, existem algumas medidas no nosso mundo onde os números imaginários são medidores perfeitos. Um campo eletromagnético é um exemplo: tem uma componente eléctrica e outra magnética e por isso, é preciso um par de números reais para o descrever. Este par pode ser visto como um número complexo e encontramos, assim, uma aplicação directa na Física, para a estranha regra da multiplicação de números complexos.

Existem poucas aplicações directas dos números complexos no dia-a-dia. No entanto, há muitas aplicações indiretas.

Muitas propriedades dos números reais só se tornaram conhecidas quando estes foram vistos como parte do Conjunto dos Números Complexos.

É como tentar perceber uma sombra.

Uma sombra pertence a um mundo a duas dimensões. Portanto, só lhe é aplicável conceitos que utilizem duas dimensões.

No entanto, pensarmos no objecto de três dimensões que a provoca  poderá ajudar-nos a perceber certas propriedades do mundo a duas dimensões, apesar de não haver aplicação direta de um mundo no outro.

Da mesma forma, mesmos não existindo aplicação directa entre o mundo real e os números complexos, estes poderão ajudar-nos a compreender muita coisa do nosso mundo.

A próxima analogia ajudará a perceber melhor.

Consideremos a População A com 236 pessoas, das quais 48 são crianças e a População B com 123 crianças em 1234 pessoas.
Efetivamente, 48/236 (aprox. 0,2) é maior que 123/1234 (aprox.0,1). Portanto, a Pop. A é mais nova que a Pop. B.

Neste exemplo são usadas fracções, números não inteiros, num problema onde não têm significado físico. Não podemos medir populações com fracções; não podemos ter meia pessoa, por exemplo! Os números que têm ligação directa com esta questão são os naturais.

As fracções, neste contexto, são tão estranhas como o são os complexos na maioria das medições do mundo real.

No entanto, o seu uso servir-nos para melhor entender uma situação do mundo real.

Da mesma forma, o uso dos complexos ajuda-nos a compreender vários acontecimentos que, directamente, só se relacionam com os números reais.

Por exemplo, em Engenharia, é usual ter de se resolver equações da forma y'' + by' + cy = 0, para a função desconhecida y.
Uma forma de resolver passa por achar as raízes do polinómio, em r, r² + br + c = 0. Mas, sucede diversas vezes não conseguirmos achar raízes reais e só encontramos complexas. O que se faz é achar todas as raízes no conjuntos dos números complexos e depois considerarmos apenas aquelas que, afinal, são reais.

No início e no fim só consideramos reais mas, pelo meio os complexos foram precisos.

Uma vez que este tipo de equações (chamadas Equações Diferenciais) surgem constantemente em problemas que representam o mundo real, por exemplo em Engenharia, podemos afirmar que os números complexos têm utilidade na nossa vida.

Fonte: http://www.educ.fc.ul.pt