Matrizes de Márkov e a modelagem da probabilidade

Tente ler o seguinte texto:

“Many physicists would agree that, had it not been for congestion con-

trol, the evaluation of web browsers might never have occurred. In fact,

few hackers worldwide would disagree with the essential unification of

voice-over-IP and public- private key pair. In order to solve this riddle,

we confirm that SMPs can be made stochastic, cacheable, and interpo-

sable ”

Para que não entende muito bem inglês, aqui vai uma tentativa de tradução:

"Muitos físicos concordam que, se não fosse para o congestionamento e concontrole, a avaliação de navegadores web nunca poderia ter ocorrido. Na verdade, poucos  hackers discordariam em todo o mundo com a unificação essencial da voice-over-IP e pares de chaves públicas privadas.  A fim de resolver este enigma, confirmamos que SMPs podem ser feitas estocástica, em cache, e interpolação."

Pergunta: Vocês entedarm alguma coisa?

Não se sinta mal se não entendeu nada, pois creio que ninguém entendeu.

Acredite ou não este pedaço de um artigo científico foi enviado para um congresso, e para surpresa de todos, o artigo foi aceito. Mas, só há um pequeno porém, o aritgo foi “escrito” por um COMPUTADOR.

Hotel de Hilbert: mesmo lotado, ainda há vagas!

Olá pessoal!

A matemática apesar de ser bem lógica e formal, existem algumas coisas que às vezes não parece ter lógica inicialmente, e uma dessas é a Teoria dos conjuntos. Você sabe o que é infinito?

Leia este pequeno texto e comente o que você achou:

           David Hilbert foi um grande entusiasta das descobertas de Cantor, chegando a afirmar que “ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou para nós”. Para ilustrar o conceito de infinitude e enumerabilidade, Hilbert imaginou um hotel de infinitos quartos. Vamos explorar a ideia de Hilbert com uma dose extra de ficção.

Fita de Moebius - Uma curiosa superfície.

Olá pessoal!

Primeiro gostaríamos de pedir desculpas por não estarmos atualizando o blog como deveríamos. Como muitos sabem, nós editores do blog entramos para a faculdade, e estamos bastante ocupados. Nessa fase de adaptação, ficamos com pouquíssimo tempo para cuidar do Clave de Pi. Mas, a partir de agora, estamos mais adaptados e novamente prontos para continuar a nossa missão de levar informação e conhecimento para todos gratuitamente.

Bem, existe uma disciplina na matemática, que estuda as superfícies, chamada topologia. Na topologia, uma das matérias consideradas das mais difíceis em matemática, há uma certa superfície conhecida como Fita de Moebius.

Você deve estar se perguntando o que é isso, mas, se você acompanha o mundo da matemática, com certeza você já viu esta fita. Ela é nada mais nada menos do que o símbolo do IMPA (Instituto de Matemática Aplicada).

Mas, o que esta superfície tem de interessante?

Observe esta imagem abaixo:

Só por observação, esta animação foi feita a partir de uma figura idealizada pelo nosso mestre Sr. Escher (Veja aqui mais sobre ele).

Mas, voltando ao assunto. Observe que uma formiga qualquer começa a sua trajetória por fora da fita e termina dentro dela. Isso ocorre porque a Fita de Moebius é uma superfície não-orientável, ou seja, quando se pode caminhar sobre ela e ao completar a volta, estará num ponto que será o reflexo do ponto de onde você partiu.

Quanto mais grossa a fita, mais difícil de montar a fita de Moebius, sendo que provavelmente, a fita acabará tornando-se um triângulo.

As aplicações da fita de Moebius vão desde a física até a biomedicina. E explica o fato de os fios de telefones e cabos enroscarem para a direita ou para a esquerda.

Se você achou este assunto interessante, comente!

Clave de Pi - " O conhecimento é a harmonia da vida.

O Som do Pi

Em homenagem ao Dia do Pi, estamos postando uma interpretação musical, feita por Michael John Blake, deste número irracional.



Para quem quiser saber um pouco mais sobre o Dia do Pi
- http://en.wikipedia.org/wiki/Pi_Day

Feliz dia do Pi!

Os primeiros Mil números Primos

Olá pessoal!

Estamos disponibilizando algo de sumo interesse para nós que amamos matemática. Os primeiros mil números primos. Se alguém quiser tentar resolver e achar a solução da Hipótese de Riemann, fique a vontade pois você já terá um bom começao com todos esses números que estamos disponibilizando.

Clique no link "Mais informações" para acessá-los.

Seria a matemática um bicho de sete cabeças?

Recebi um e-mail de meu amigo Vladimir Thiengo (colaborador) no qual havia um artigo do Jornal da Ciência, cujo título "Matemática, o bicho-papão também da universidade" me despertou curiosidade e interesse. O artigo trata do problema que diversos alunos de graduação em ciências exatas têm com uma disciplina chamada "Cálculo". Essa disciplina está entre as primeiras destas graduações e é pré requisito para diversas matérias. Tudo bem, quem durante o ensino médio ou fundamental não conheceu alguém que tinha uma grande dificuldade em matemática ao ponto mesmo de repudiá-la? Mas, como explicar que alunos que escolheram verter por esses caminhos, exatemente por serem bons com números, tenham tanta dificuldade nessa disciplina?

As universidades estão sendo forçadas a suprir a falta de preparo dos alunos. Na UFF (Universidade Federal Fluminense) por exemplo, os alunos têm uma grande revisão de matérias do ensino médio antes de aprender cálculo I. E ainda assim, muitos ficam reprovados.

Esse artigo do JC mostra uma iniciativa louvável para tentar amenizar o problema. Um professor em Brasília, leciona cálculo a seus alunos de ensino médio como uma atividade extraclasse para os que se interessam, sem cobrar nada. Essa atitude deveria ser implementada por outras escolas. Pois, quem já passou ou está passando por essa matéria sabe o quão desesperadora ela é. Quem não teve dificuldade, pelo menos viu pessoas em volta arrancando os cabelos.

Particularmente, creio que o problema não seja a cobrança dos professores das universidades. Eles tem de ser muito exigentes mesmo. A grande questão é a falta de base com a qual os estudantes chegam as faculdades. Cálculo não é nenhum "bicho de sete cabeças", ou não deveria ser àqueles que escolheram esse caminho. Mas é de fato, uma matemática muito diferente daquela ensinada nas escolas, por isso há um choque tão grande por parte dos alunos. As escolas deveriam prepara-los melhor para seu futuro. De nada adianta aprova-los para vestibulares, se eles vão ficar reprovados logo nas primeiras disciplinas de suas graduações.

Quem quiser ler o artigo original do Jornal da Ciência: Matemática, o bicho-papão também da universidade

E para quem quiser conhecer um pouco mais sobre essa disciplina veja o site abaixo:

E-cálculo - "Esse site é fruto de um projeto aprovado pela Pró-Reitoria de Graduação da Universidade de São Paulo (USP)"

Vitor S. Chagas - Editor do Clave de Pi

Teoria do Caos - Continuação da série sobre fractais

Gostaria de me desculpar pela demora em continuar nossa série sobre fractais, mas para os que gostaram e querem mais, aqui está:

"O Caos não tem estátua nem figura e não pode ser imaginado; é um espaço que só pode ser conhecido pelas coisas que nele existem e ele contém o universo infinito."

-Frances A. Yates

Na Mitologia grega, o Caos era considerado o estado não organizado, ou o nada, de onde todas as coisas surgiam. De acordo com a Teogonia de Hesiold, o Caos precedeu a origem, não só do mundo, mas também dos deuses. A cosmogonia de Orphic afirma que Chronos (personificação do tempo) deu origem a Ether e a Caos, este formou um enorme ovo de onde nasceu o Paraíso, a Terra e Eros.

Atualmente, com o desenvolvimento da Matemática e das outras ciências, a Teoria do Caos surgiu com o objetivo de compreender e dar resposta às flutuações erráticas e irregulares que se encontram na Natureza, resíduos da formação primordial vinda do grande ovo de Caos.

A ciência do Caos é relativamente recente e é considerada a terceira grande revelação deste século nas ciências físicas.

A investigação do Caos teve início nos anos 60, quando se descobriu que sistemas complexos, que podiam descrever possíveis previsões do tempo, podiam ser traduzidos por equações matemáticas simples. Do mesmo modo, sistemas que eram aparentemente simples e modelos deterministas, podiam levar a problemas muito complexos.  

Através do estudo desta ciência, verificou-se que um sistema passa facilmente de um estado de ordem para um estado caótico, podendo surgir, por vezes de uma maneira espontânea, dentro do caos, a ordem. Também foi verificado que pequenas diferenças nas condições iniciais de um sistema podem conduzir a diferenças bastante significativas no resultado final, sendo deste modo fortemente abalado o paradigma da física determinista.

Porém, compreendendo o comportamento caótico, muitas vezes é possível entender como o sistema se comportará como um todo ao longo do tempo.

Esta ciência tem proporcionado algumas descobertas extraordinárias e levantado questões tão problemáticas que a tornam muito interessante e desafiante.

A geometria fractal está intimamente ligada à Teoria do Caos. São as estruturas quebradas, complexas, estranhas e belas desta geometria que conferem uma certa ordem ao caos, e esta é muitas vezes caracterizada como sendo a linguagem do caos.  

A geometria fractal busca padrões organizados de comportamento dentro de um sistema aparentemente aleatório.

Vejamos o seguinte exemplo:

O João sai de casa às 9 horas para visitar a avó que vive  a 30 Km.

Ao sair de casa, fica preso no elevador, por falta de corrente, o que o faz demorar 5 minutos e perder o ônibus que passa de 10 em 10 minutos (passou às 9 horas e 4 minutos). Chega à estação, acabando de perder o metrô (só o viu ao fundo da linha), o próximo é daí a 2 horas.

Esta relação é um bom exemplo de caos: uma pequena alteração pode provocar uma diferença considerável, como no caso anterior.

Mas também pode acontecer que uma alteração não origine uma diferença significativa como se pode ver na situação seguinte:

Se o João tivesse saído de casa às 8 horas e 59 minutos, o elevador não tinha parado e teria chegado a horas a casa da avó.

Mas a mais pequena alteração pode ter consequências imprevisíveis.

Neste exemplo, saíndo às 9 horas, apenas um minuto mais tarde, o João vai chegar a casa da avó 2 horas e 14 minutos mais tarde.

 

Outra relação existente entre a geometria fractal e a Teoria dos Caos prende-se com o fato de ambas se terem desenvolvido e crescido graças ao desenvolvimento da informática. No entanto, embora a utilização de computadores seja indispensável, não podemos confiar cegamente nos computadores pois uma alteração mínima nas condições iniciais pode ser o suficiente para que o resultado sofra mudanças bastante significativas.

Apesar das inúmeras aplicações e utilidades, os fractais ainda têm um longo caminho pela frente. Faltam muitas ferramentas e vários problemas continuam sem solução. Uma teoria completa e unificada é necessária e a pesquisa prossegue neste sentido.

"O mundo que nos cerca é caótico mas podemos tentar limitá-lo no computador. A geometria fractal é uma imagem muito versátil que nos ajuda a lidar com os fenómenos caóticos e imprevisíveis."                      

-Benoît Mandelbrot

Texto retirado de O Mundo dos Fractais

A Geometria Analítica e seu verdadeiro Pai

ELENICE DE SOUZA LODRON ZUIN

Departamento de Matemática e Estatística da PUC-MINAS

“... é possível que me engane e que seja talvez um pouco

de cobre e de vidro o que tomo por ouro e diamantes.”

                                                                                         René Descartes

 

René Descartes

      O francês René Descartes (1596-1650) é anunciado como o pai da Geometria Analítica, por ter escrito sua mais famosa obra: o Discours de la méthode por bien conduire sa raison et chercher la verité dans les science (Discurso do método para bem conduzir a razão e procurar a verdade nas ciências). Quase todos os livros didáticos de matemática apontam Descartes como o criador da Geometria Analítica. Mas, até que ponto isto é verdade?  Neste artigo, iremos voltar alguns séculos na História para podermos refletir e julgar a quem caberia o título de Pai da Geometria Analítica.

Tudo começa na Antigüidade. Os antigos egípcios, em agrimensura, e os antigos gregos, na elaboração de seus mapas, usavam métodos que, através de coordenadas convenientes, podiam fixar a posição de um ponto. Ao longo da história, vários trabalhos sugerem usos de coordenadas e aplicações de álgebra, ainda que rudimentar, à geometria.

Já, no século XIV vamos encontrar Nicola Oresme (1323-1382), natural da diocese de Bayeux, na França que se tornou bispo de Lisieux, na Normandia, em 1377. Ele foi estudante e professor da Universidade de Paris. Oresme escreveu várias obras. Um tratado sobre a Origem, Natureza e Mudanças das Moedas, que o torna pioneiro como economista político daquela época. Escreveu, também, sobre Astrologia, mas na área da matemática, entre outros, é que ele nos deixou um trabalho original. “... ocorreu-lhe em algum momento antes de 1361 um pensamento brilhante –  porque não traçar uma figura ou gráfico da maneira pela qual variam as coisas? Vemos aqui, é claro, uma sugestão antiga daquilo que agora chamamos representação gráfica de funções. Tudo o que é mensurável, escreveu Oresme, é imaginável na forma de quantidade contínua; por isso ele traçou um gráfico velocidade-tempo para um corpo que se move com aceleração constante. Ao longo de uma reta horizontal ele marcou pontos representando instantes de tempo (ou longitudes), e para cada instante ele traçou perpendicularmente à reta de longitudes um segmento de reta (latitude) cujo comprimento representava a velocidade. As extremidades desses segmentos, ele percebeu, jazem ao longo de uma reta; e se o movimento uniformemente acelerado parte do repouso, a totalidade dos segmentos velocidade (que chamamos ordenadas) preencherá um triângulo retângulo. Como a área desse triângulo representa a distância percorrida, Oresme forneceu, assim, uma verificação geométrica da regra de Merton1, pois a velocidade no ponto médio do intervalo de tempo é a metade da velocidade final. Além disso, o diagrama leva obviamente à lei de movimento usualmente atribuída a Galileu no século dezessete. (...)

A representação gráfica de funções, conhecida então como a latitude de formas continuou a ser um tópico popular deste o tempo de Oresme até o de Galileu. O Tractatus de latitudinibus formarum, escrito talvez por um estudante de Oresme, senão pelo próprio Oresme, apareceu em numerosas formas manuscritas e foi impresso pelo menos quatro vezes entre 1482 e 1515; mas constituía apenas um resumo de uma obra maior de Oresme intitulada Tractatus de Figuratione potentiarum et mensurarum. Aqui Oresme chegou a sugerir uma extensão a três dimensões de sua ‘latitude de formas’ em que uma função de duas variáveis independentes era representada como um volume formado de todas as ordenadas erigidas segundo uma reta dada, em pontos numa parte do plano de referência. Encontramos até uma insinuação de uma geometria de quatro dimensões...”  2

Voltando a Descartes, Discours de la méthode contém três apêndices: La dioptrique, Les météores e La géométrie.  Descartes diz no seu livro: “Todo problema de geometria pode facilmente ser reduzido a termos tais que o conhecimento dos comprimentos de certos segmentos basta para a construção”, deste modo, podemos perceber que seu objetivo era, em geral, uma construção geométrica, diferentemente da redução da geometria à álgebra como se pensa. La Géométrie tem duas seções: “Como os cálculos de aritmética se relacionam com operações e geometria” e “Como a multiplicação, a divisão e a extração de raízes quadradas são efetuadas geometricamente”, mostrando que as cinco operações aritméticas correspondem a construções com régua e compasso. O que é mais representativo em La géométrie é uma teoria de equações algébricas onde Descartes propõe um método para se determinar o número de raízes falsas (negativas) e verdadeiras (positivas) de uma equação. 

 

           Discours de la Methode – Edição de 1637

 Segundo Boyer e Struik, La Géométrie não se assemelha em nada com a geometria analítica, são usadas ordenadas oblíquas, não se encontram eixos perpendiculares, ou coordenadas retangulares (também conhecidas por coordenadas cartesianas, em homenagem a Descartes!). Não se fala de distâncias entre dois pontos, inclinação de uma reta ou mesmo ângulo entre duas retas, não se usa abscissas negativas. Descartes, apesar de colocar algumas equações do segundo grau, que são interpretadas como representativas de seções cônicas, não faz deduções de equações das seções cônicas e nem mesmo de uma simples reta ou circunferência.

Um fato interessante é que a edição original do livro foi publicada sem o nome de Descartes! Apesar disto, segundo os historiadores, todos sabiam quem era o autor. Os três apêndices do Discours de la méthode, para a maioria das pessoas, pareciam textos soltos, e isto ficou tão evidente que foram omitidos em reedições posteriores, uma vez que não se entendia como os mesmos tinham alguma relação com o seu método geral, exposto no livro.

Struik diz, em relação à geometria analítica: “este ramo da matemática se desenvolveu sob a influência do livro de Descartes, mas dificilmente La Géométrie pode ser considerada um primeiro texto sobre o assunto”, lembrando que “Apolônio já tinha uma caracterização das seções cônicas por meio daquilo que agora – com Leibniz – podemos chamar coordenadas, embora não lhes fossem atribuídos valores numéricos. Porém, a latitude e a longitude na Geographia, de Ptolomeu, eram coordenadas numéricas. Papus, na sua Colecção, tinha um Tesouro de Análise (Analuomenos), no qual temos apenas de modernizar a notação para obter uma aplicação da álgebra à geometria. Mesmo a idéia de representação gráfica tinha ocorrido antes de Descartes, como, por exemplo, nos trabalhos de Oresme”3. Para situar a época na qual estes trabalhos foram desenvolvidos, Apolônio escreveu As cônicas por volta do ano de 225 a.C., Ptolomeu viveu no século II e  Papus no século IV.

Como o Tractatus de latitudinibus formarum, ou apenas De latitudinibus formarum, onde Oresme expõe a sua representação gráfica, foi impresso várias vezes, é de se imaginar que este trabalho tenha influenciado tanto Descartes4 como outros matemáticos do Renascimento.  

Pierre de Fermat

 Contemporâneo de Descartes, o advogado francês Pierre de Fermat (1601-1665) foi um grande nome na História da Matemática. Em geral, os nossos estudantes do Ensino Médio, e mesmo superior, nunca ouviram falar em Fermat. Este homem notável, que tantas contribuições deu ao mundo, se dedicava, nas suas horas livres, à ciência e à matemática; não se preocupou em publicar nenhum de seus estudos e descobertas. Seus trabalhos foram divulgados através de correspondência a amigos e a outros intelectuais. Em 1629, ele iniciou um trabalho de recompor as obras perdidas da Antigüidade, fazendo pesquisas e se baseando em tratados clássicos. Uma das obras reconstruídas por ele foi Lugares Planos, de Apolônio. Acredita-se que ao reconstruir a obra de Apolônio ele se inspirou para chegar ao princípio fundamental da geometria analítica. Ele escreveu Ad locus planos et solidos isagoge (Introdução aos lugares planos e sólidos), que só foi publicado depois da sua morte. Neste pequeno ensaio, ele trata das equações  de retas e cônicas, referidas a um sistema de eixos, em geral, perpendiculares. Usando a álgebra resolveu problemas geométricos. No seu livro encontramos as equações gerais de retas, circunferências e equações mais simples de parábolas, elipses e hipérboles, sendo que também apresenta reduções de equações do primeiro e segundo graus através de translações e rotações de eixos.

Um outro fato importante é que o monge franciscano Marin Mersenne5, que vivia em Paris, interessado em Filosofia, Ciência e Matemática, formou um grupo de intelectuais que se reuniam freqüentemente. Estavam entre eles, Gilles Persone de Roberval6, Blaise Pascal, Girard Desargues, Pierre Gassendi7, e mesmo o inglês Thomas Hobbes, que estava sempre na França. O monge mantinha correspondência com diversas pessoas que desenvolviam trabalhos expressivos na época: na Itália com Galileu Galilei, Boaventura Cavalieri e Evangelista Torricelli; em Toulousse com Fermat; com Descartes, que na época morava na Holanda. Neste fantástico grupo, as grandes idéias e descobertas sempre transitavam e eram discutidas; Mersenne se encarregava de se fazer conhecer o conteúdo de suas correspondências ao grupo e transmitir tudo que circulava de novidade aos seus correspondentes. Descartes, muito antes de publicar o Discours de la méthode, em 1637, já tinha lido o manunscrito original do trabalho de Fermat, escrito em 1629. Como as informações circulavam através de Mersenne, este provavelmente, lhe encaminhou as idéias de Fermat, mesmo antes de Descartes ter oportunidade de ler a Introdução a lugares planos e sólidos (assunto para se refletir!).

Marin Mersenne

O trabalho de Fermat só foi publicado em 1679, após a sua morte, e o livro de Descartes em 1637. Este fato pode ter gerado a idéia de que Descartes, realmente, foi o criador da Geometria Analítica. Outro ponto, a ser destacado, é que Fermat utilizou a álgebra de Viète (1540-1603), o que fazia parecer sua obra não tão moderna como a de Descartes, uma vez que este introduziu diversas notações que ainda são usuais.8

Agora, você tem informações suficientes para ajudar a Geometria Analítica a encontrar o seu  verdadeiro Pai (!).

A partir desta pequena viagem pela História da Matemática, nos convencemos da importância  de se pesquisar fatos que, mesmo durante muitos séculos, são colocados como verdadeiros. E dentro da Educação e, também, no nosso dia-a-dia, cada um de nós deve começar refletir a respeito das palavras do próprio Descartes: “O bom senso é a coisa mais bem repartida deste mundo...” 9.  “Todavia é possível que me engane e que seja talvez um pouco de cobre e vidro o que tomo por ouro e diamantes”

 

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" Artigo publicado na Revista MatNews 2, 1998. p.48-51.

 

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1 No século XIV o estudo das mudanças, em geral, e do movimento, em particular, foram estudados nas universidades em Oxford e Paris. Em Merton College, Oxford, foi deduzida uma formulação para o movimento de velocidade com variação uniforme, que ficou conhecido como regra de Merton. A regra expressa em termos de tempo e distância, diz essencialmente que se um corpo se move com movimento uniformemente acelerado a distância coberta será igual à que seria percorrido por outro corpo que se deslocasse com movimento uniforme durante o mesmo intervalo de tempo com velocidade igual à do primeiro  no ponto médio do intervalo de tempo.  (Boyer, 1996, p. 178).

2 Boyer, 1994, p. 180-182.

3 IStruik, 1989, p.161-162.

4 Boyer acredita que mesmo que Descartes tivesse conhecimento da obra de Oresme, ele não conseguiu fazer qualquer relação entre a latitude de formas e a sua classificação das construções geométricas. (Boyer, 1996, p.237).

5 Mersenne (1588-1648) é autor de trabalhos na área de Física e Matemática.

6 Roberval, entre outros trabalhos, fez um estudo a ciclóide provando que a área sob um arco da curva é igual a três vezes a área do círculo gerador; em 1638, descobriu como traçar a tangente à curva em qualquer ponto.

7 Gassendi filósofo francês, foi um dos proponentes da teoria atomista. Defendia a idéia de que o Universo é formado por  minúsculas  partículas,  cujos  movimentos  e interações  podem ser  estudados e previstos matematicamente.

8 Usando a notação algébrica de Viète, Fermat escrevia em latim “D in A aequetur B in E”, o que hoje escreveríamos como Dx = By, para representar o caso mais simples de uma equação linear.

Descartes introduziu  uma  nova  notação para  as equações algébricas, usa as primeiras letras do  alfabeto,  a, b, c para designar as constantes e  x, y, z  para denotar as variáveis, notação preservada  até hoje.

9 In Discurso do Método, p.39.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

BOYER, Carl B. História da Matemática. 2. ed. Trad.Elza Furtado Gomide. São Paulo: Blücher, 1996.

DESCARTES, René. Discurso do método. Trad. João Cruz Costa. Rio de Janeiro: Ediouro, [s.d].                                              

EVES, Howard. História da Geometria. Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1992.

STRUIK, Dirk. História concisa das matemáticas. Lisboa: Gradiva, 1989.

Euclides e a Geometria Dedutiva

 Olá pessoal! Estamos digitalizando mais um texto sobre a história da matemática da coleção Fundamentos da Matemática Elementar. Espero que gostem!

 

Derrotada na batalha de Queronéia pelas forças do rei Felipe, a Grécia torna-se parte do império macedônio no ano de 338 a.C..Dois anos depois , com a morte de Felipe, assume o poder seu filho Alexandre, então com 20 anos de idade. Ao morrer, cerca de 13 anos depois, Alexandre incorporara ao seu império grande parte do mundo civilizado de então. Dessa forma a cultura grega, adotada pelos macedônios (em cuja formação populacional predominava o elemento grego), foi estendida ao Oriente antigo. Em sua arrancada expansionista, Alexandre fundou muitas cidades. Uma delas, em especial, teria um papel extraordinário na história da Matemática: Alexandria, no Egito.

Com a morte de Alexandre, o domínio sobre o Egito passou às mãos de Ptolomeu, um de seus líderes militares. E uma das primeiras e talvez mais importante obra de Ptolomeu foi criar em Alexandria, junto ao Museu (templo às musas), o primeiro modelo do que viriam ser as universidades, séculos depois. Nesse centro, intelectuais do mundo inteiro, trabalhando ali em tempo integral, dedicavam –se às pesquisas e ao ensino às expensas do Estado. Ponto alto da instalação era uma biblioteca, que chegou a ter, no auge de seu esplendor, perto de 700 mil rolos de papiro. Muitos grandes matemáticos trabalharam ou se formaram no Museu. Dentre eles, e um dos mais notáveis, foi Euclides (c. 300 a.C.).

Quase nada se sabe sobre a vida de Euclides, salvo algumas poucas informações esparsas. Mesmo sobre a sua formação matemática não há nenhuma certeza: é possível que tenha sido feita em Atenas, na Academia de Platão. Papus de Alexandria (séc. IV) deixou registrado elogios à sua modéstia e consideração para com os outros. Mas sua presença de espírito talvez possa ser avaliada pela história segundo a qual, a uma indagação de Ptolomeu sobre se haveria um caminho mais curto para a geometria (que o proposto por Euclides), teria respondido:”Não há nenhum caminho real na geometria.”Ou seja, perante a geometria todos são iguais, até reis e poderosos como Ptolomeu.

Embora autor de outros trabalhos, a fama de Euclides praticamente repousa sobre seus Elementos, o mais antigo texto da matemática grega a chegar completo a nossos dias. Obra em treze livros, apesar de na sua maior parte ser uma compilação e sistematização de trabalhos anteriores sobre a matemática elementar da época, seu êxito foi enorme. Haja vista suas mais de mil edições impressas em todo o mundo, desde a primeira em 1482, um feito editorial talvez só superado pela Bíblia.

Os Elementos dedicam um bom espaço à teoria dos números (três livros), mas com o enfoque geométrico que permeia toda sua obra. Euclides representava os números por segmentos de reta, assim como representava o produto de dois números por um retângulo. Contudo, a argumentação usada por ele independe da geometria. Há também no texto um pouco de álgebra geométrica, onde por exemplo, algumas equações do segundo grau são resolvidas geometricamente sendo suas raízes dadas na forma de segmentos de retas.

Mas, sem dúvida, o forte dos Elementos é a geometria. A partir de cinco noções comuns, cinco postulados específicos e algumas definições, centenas de teoremas (467 em toda sua obra) são deduzidos, alguns de grande profundidade. Além de ser o mais antigo texto de matemática na forma axiomático-dedutiva a chegar aos nossos dias, nele Euclides foi muito feliz na escolha e no enunciado de seus postulados básicos. Assim, não é sem motivo que os Elementos, por dois milênios, além de texto fundamental de geometria, foi o modelo de boa matemática.

Falhas em sua estruturação lógica foram sendo achadas ao longo do tempo. Por exemplo a questão da continuidade não foi focalizada, o que levava a Euclides a usar pressupostos não explicitados sobre o assunto. Tudo isso porém chega a ser irrelevante em face a grandiosidade da obra e de sua inigualável influência científica.

Fonte: Fundamentos da Matemática Elementar, Vol. 9, 7ª Edição, página 59.

Conjectura de Lothar Collatz

A conjectura foi formulada em 1937 pelo matemático alemão Lothar Collatz. Trata-se de uma suposição matemática, algo que se imagina ser verdadeiro mas que não se conseguiu ainda provar nem rejeitar. E, tal como algumas das mais célebres suposições matemáticas, é fácil de entender, mas parece tremendamente difícil de provar ou rejeitar.

 

Lothar Collatz

Diz a conjectura de Collatz que, fazendo certas operações sucessivas a partir de qualquer número natural (inteiro positivo), se obtém sempre o número 1.
Funciona da seguinte forma:
Começa-se com um número inteiro positivo. Se esse número for par, divide-se por 2. Se for ímpar, multiplica-se por 3 e soma-se 1. Ao fim disto obtém-se um novo número e repete-se o processo. Lothar Collatz conjecturou que, prosseguindo recursivamente esta sequência de operações, se atinge inevitavelmente o número 1.
Nada melhor que um exemplo. Comece-se com 6. Como é par, divide-se por 2 e obtém-se 3. Como este é ímpar, multiplica-se por 3, soma-se 1 e obtém-se 10. Prossegue-se... Se o leitor fizer as contas verificará que obtém os números: 6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Atinge 1, portanto. Pode tentar com outros números. Acabará quase certamente por encontrar 1, pois muitos outros o tentaram e chegaram sempre à unidade.
O investigador português Tomás Oliveira e Silva explorou um grande número de hipóteses, começando no número 1 e ultrapassando o número 27 mil milhões de milhões. Não encontrou nenhum caso em que a sequência não atingisse 1.
É um resultado importante, mas não basta aos matemáticos. Pode muito bem acontecer que haja um número ainda não explorado que falhe a conjectura. Sem uma demonstração rigorosa ou sem encontrar tal hipotético número, continuamos sem o saber.

 Nuno Crato, matemático português , ganhou o importante prêmio "Science Communicator of the Year", antigo "Prémio Descartes".

Fonte: http://amatematicaandaporai.blogspot.com

O que é um fractal?

Nos últimos anos, diferentes definições de fractais têm surgido. No entanto, a noção que serviu de fio condutor a todas as definições foi introduzida por Benoît Mandelbrot através do neologismo "Fractal", que surgiu do latino fractus, que significa irregular ou quebrado, como ele próprio disse: "Eu cunhei a palavra fractal do adjectivo em latim fractus. O verbo em latim correspondente frangere significa quebrar: criar fragmentos irregulares, é contudo sabido – e como isto é apropriado para os nossos propósitos! – que, além de significar quebrado ou partido, fractus também significa irregular. Os dois significados estão preservados em fragmento".

Os fractais são formas geométricas abstractas de uma beleza incrível, com padrões complexos que se repetem infinitamente, mesmo limitados a uma área finita. Mandelbrot, constatou ainda que todas estas formas e padrões, possuíam algumas características comuns e que havia uma curiosa e interessante relação entre estes objetos e aqueles encontrados na natureza.

Um fractal é gerado a partir de uma fórmula matemática, muitas vezes simples, mas que aplicada de forma interativa, produz resultados fascinantes e impressionantes.

Uma 1ª definição, pelo próprio Mandelbrot, diz que: "Um conjunto é dito fractal se a dimensão Hausdorff deste conjunto for maior do que a sua dimensão topológica". Contudo, no decorrer do tempo ficou bastante claro que esta definição era muito restrita, embora apresentasse algumas motivações pertinentes.

Existem duas categorias de fractais: os geométricos, que repetem continuamente um modelo padrão e os aleatórios, que são feitos através dos computadores.

Além de se apresentarem como formas geométricas, os fractais representam funções reais ou complexas e apresentam determinadas características: auto-semelhança, a dimensionalidade e a complexidade infinita.

Uma figura é auto-semelhante se uma parte dela é semelhante a toda a figura. Podemos observar esta característica na curva de Koch. 

Texto retirado de: O Mundo dos Fractais

Fractais

Caros leitores,

Nos próximos posts escreveremos sobre os fractais. Com a morte de Mandelbrot  resolvemos conhecê-los melhor  e achamos esse tema muito interessante, por isso resolvemos compartilhar com vocês. Nesse primeiro, está relatada a cronologia desta incrível geometria. Esperamos que gostem.

"A Geometria dos Fractais não é apenas um capítulo da Matemática, mas também

uma forma de ajudar os Homens a verem o mesmo velho Mundo diferentemente"

- Benoît Mandelbrot

Cronologia

Há mais de dois mil anos, Euclides, segundo conta a tradição, enquanto caminhava pela praia, notou que a areia, vista como um todo, se assemelhava a uma superfície contínua e uniforme, embora fosse composta por pequenas partes visíveis.

Desde então, empenhou-se em tentar provar, matematicamente, que todas as formas da natureza podiam ser reduzidas a formas geométricas simples (cubos, esferas, prismas).

Concentrado sobretudo nas formas, deixou de lado um elemento importantíssimo neste tipo de análise: a dimensão. No entanto, inconscientemente, esta foi a chave para o pensamento inicial de Euclides, já que um grão de areia, considerado isoladamente, apresenta três dimensões (largura, altura e profundidade), enquanto que a superfície arenosa da praia é visualmente plana (com duas dimensões).

Século XII

Newton e Leibniz criaram o cálculo, com as suas técnicas de "diferenciação" em termos geométricos, para assim poderem encontrar a tangente e a curva em qualquer ponto dado. No entanto, algumas funções eram descontínuas e, não tinham tangentes nem pontos isolados.

1870 

• Weierstrass descreveu uma função que era contínua, mas não era diferenciável, isto é, em nenhum ponto se podia descrever uma tangente à curva. 
• Quase simultaneamente, Cantor criou um método simples de transformar uma linha numa poeira de pontos, que apesar de não passar de pontos isolados no intervalo [ 0, 1 ], tem mais pontos do que os números racionais, ou seja, tem uma quantidade não numerável de pontos.
• Peano, por seu lado, gerou pela primeira vez uma curva ondulada, que tocava em cada ponto do plano.

Todas estas formas pareciam sair das categorias usuais de linhas unidimensionais, bidimensionais e planos tridimensionais, daí o fato pelo o qual a maioria ser vista como "casos patológicos".

1880

Poincaré ao analisar a estabilidade do sistema solar, desenvolveu um método qualitativo no qual cada ponto representava uma diferente órbita planetária, criando, o que hoje podemos chamar topologia.

Revelou ainda que enquanto muitos movimentos iniciais velozmente caíam em curvas familiares, algumas eram deveras estranhas, "caóticas", cujas órbitas nunca se tornavam periódicas e previsíveis.

1935

O ponto de partida para um matemático bastante célebre, Benoît Mandelbrot foi precisamente a questão da dimensão, que tinha "escapado" a Euclides.

Mandelbrot descreveu matematicamente a ideia original de Euclides, acrescentando a essa ideia a questão da dimensão,e foi deste modo que surgiu a geometria dos fractais.

Num tempo em que o treino matemático francês era fortemente analítico, Benoît Mandelbrot visualizava os problemas sempre que possível, de forma a também os poder resolver em termos geométricos.

 1958

Mandelbrot juntou-se à IBM e iniciou uma análise matemática do ruído electrônico começando a perceber a estrutura presente nele: as hierarquias de flutuações de todos os tipos que não podiam ser descritas pelos métodos estatísticos existentes. Assim, à medida que os anos foram decorrendo, diversos problemas que não pareciam relacionados, foram se unindo cada vez mais, dando origem ao nome: Geometria Fractal.

Anos mais tarde

Outros investigadores, ao tentar compreender a flutuação, como por exemplo o ruído; séries de preços em economia; ou o percurso de partículas no movimento browniano de fluídos, puderam comprovar que os modelos tradicionais não correspondiam aos dados. Embora, estas pesquisas parecessem sem relação, estavam a convergir para um objetivo comum.

Embora não aparentem, os fractais podem ser encontrados em todo o universo natural e em toda a ciência, desde o aspecto das nuvens, montanhas, árvores e relâmpagos, até à distribuição das galáxias e à economia de stocks e mercados.

Assim, o impacto dos fractais e da geometria fractal é bem evidente, quer na engenharia, nas comunicações telefônicas, na química, na metalúrgica, na arte, na matemática e até no estudo de doenças crônicas e  em outros campos da medicina. Por exemplo, na década passada, alguns estudos revelaram que um coração saudável bate a um ritmo fractal e, que um batimento cardíaco quase periódico, é um sintoma de insuficiência cardíaca.

Texto retirado de O Mundo dos Fractais

A bolha de sabão em números

No século 19, o ale-mão Karl Weierstrass (1815-1897) conseguiu seu título de doutor honoris causa por desenvolver uma série de ferramentas matemáticas e dar maior rigor às provas de teoremas. Ele já tinha passado dos 40 anos, idade considerada tardia para descobertas matemáticas, e lecionava havia 14 anos no ensino secundário quando publicou seus trabalhos e foi reconhecido como um grande talento matemático. Logo em seguida, recebeu vários convites e escolheu lecionar na Universidade de Berlim. Sua fama de excelente professor atraía estudantes de todas as partes do mundo.


Os trabalhos de Weierstrass foram aplicados muito tempo depois pelo matemático brasileiro Celso Costa, da Universidade Federal Fluminense, que tentava descobrir em seu doutorado uma nova figura geométrica. Para chegar a ela, usou os estudos, particularmente funções, desenvolvidas pelo matemático alemão. O que Costa buscava era algo que vinha movimentando pesquisadores de todo o mundo por 200 anos: descrever matematicamente a forma de novas superfícies mínimas.


A idéia surgiu no começo dos anos 80, quando o brasileiro estava no cinema. "Eu assistia a um filme sobre escola de samba e um sambista desfilava com um bizarro chapéu de três abas. Naquele momento tive a inspiração crucial e final do modo como a figura geométrica da superfície que eu buscava se apresentava no espaço." No século 18, quando tiveram início as pesquisas sobre esse tema, foram descritas três superfícies mínimas: o plano, o catenóide e o helicóide (veja ilustração acima). Depois disso, ninguém descobriu mais nenhuma.

Alexandre Camanho



O material utilizado nos primeiros trabalhos era a película de sabão, que acabou sendo útil para a construção da teoria matemática sobre essas superfícies.E aquela mistura de água com sabão e a argola que se usa para soltar bolhas no ar ainda pode ser usada para explicar o que são superfícies mínimas. A película que se forma na argola antes que ela seja movimentada no ar é a primeira das superfícies mínimas: o plano. A segunda (catenóide) é obtida quando assopramos a argola e a película forma um bojo, antes de chegar a se fechar em bola. Devemos imaginar que a borda inicial formada pela argola seja mantida, ou seja, a superfície é limitada pelas duas bordas e vazada. A terceira (helicóide) é obtida se deformarmos a argola em forma de hélice. As formas que a película vai adquirir no espaço são as superfícies mínimas, ou as superfícies de menor área que cobre um determinado bordo (nesse caso, a argola).



A nova superfície descoberta em 1982 por Costa, (figura ao lado) que levou seu nome, teve grande repercussão no mundo da matemática por resolver um problema antigo. Muitos matemáticos tentavam provar a existência (ou não) de superfícies como a do brasileiro. Além disso, a partir dela, foi possível desenvolver técnicas que permitem hoje a solução de muitos outros problemas na área de superfícies mínimas. O trabalho acabou dando origem a uma série de pesquisas que resultaram na descoberta de novas superfícies, teoremas e novos problemas matemáticos.



Para cada superfície mínima existem equações que geram o objeto em três dimensões. Para as três primeiras figuras descobertas no século 18, as equações eram relativamente simples e facilmente relacionáveis com o objeto em 3D. Mas as equações da superfície Costa já apresentam muitas complicações para a visualização da figura em três dimensões. Então, a partir da descoberta do brasileiro, Hoffman e Meeks, dois americanos da Universidade de Massachusetts, fizeram a imagem computacional exata da superfície. Posteriormente, a descoberta do brasileiro acabou influenciando também o desenvolvimento da computação gráfica.



A superfície Costa tem a forma de um toro - como as bóias do tipo pneu que os banhistas usam para flutuar nas piscinas - com três buracos. Depois de visualizada por computador, foi a vez dessa curiosa superfície geométrica inspirar vários artistas pelo mundo, que acabaram ganhando prêmios com esculturas da superfície Costa, seja em material permanente - metal ou concreto - ou em blocos de gelo nos festivais de inverno dos países frios.

Fonte: Revista Galileu