Blaise Pascal

Foi um Filósofo e Matemático francês, nasceu em Clermont em 1623 e morreu em 1662 na cidade de Paris. Era filho de Etienne Pascal, também Matemático. Em 1632, toda a família foi viver em Paris.

O pai de Pascal, que tinha uma concepção educacional pouco ortodoxa, decidiu que seria ele próprio a ensinar os filhos e que Pascal não estudaria Matemática antes dos 15 anos, pelo que mandou remover de casa todos os livros e textos matemáticos. Contudo, movido pela curiosidade, Pascal começou a trabalhar em Geometria a partir dos 12 anos, chegando mesmo a descobrir, por si, que a soma dos ângulos de um triângulo é igual a dois ângulos retos. Então o seu pai resignou-se e ofereceu a Pascal uma cópia do livro de Euclides.

Aos 14 anos, Pascal começou a acompanhar o seu pai nas reuniões de Mersenne, onde se encontravam muitas personalidades importantes. Aos 16 anos, numa das reuniões, Pascal apresentou uma única folha de papel que continha vários teoremas de Geometria Projetiva, incluindo o hoje conhecido como "Hexagrama místico" em que demonstra que "se um hexágono estiver inscrito numa cônica, então as intersecções de cada um dos 3 pares de lados opostos são colineares". Em Fevereiro de 1640 foi publicado este seu trabalho – "Ensaio sobre secções cônicas", no qual trabalhou durante 3 anos.

Em 1639 a família de Pascal deixou Paris e mudou-se para Rouen, onde o seu pai tinha sido nomeado coletor de impostos da Normandia Superior.

Aos dezoito anos e com o objetivo de ajudar o pai na tarefa de cobrar impostos, Pascal inventou a primeira máquina digital, chamada Pascalinne para levar a cabo o processo de adição e subtração, e posteriormente organizou a produção e comercialização destas máquinas de calcular (que se assemelhava a uma calculadora mecânica dos anos 40). Pelo menos sete destes «computadores» ainda existem; uma foi apresentada à rainha Cristina da Suécia em 1652.

Quando o seu pai morreu em 1651, Pascal escreveu a uma das suas irmãs uma carta sobre a morte com um profundo significado cristão em geral e em particular sobre a morte do pai. Estas suas ideias religiosas foram a base para a sua grande obra filosófica "Pensées" que constitui um conjunto de reflexões pessoais acerca do sofrimento humano e da fé em Deus.

Em Física destacou-se pelo seu trabalho "Tratado sobre o equilíbrio dos líquidos" relacionado com a pressão dos fluídos e hidráulica. O princípio de Pascal diz que a pressão em qualquer ponto de um fluido é a mesma, de forma a que a pressão aplicada num ponto é transmitida a todo o volume do contentor. Este é o princípio do macaco e do martelo hidráulicos.

Pascal estudou e demonstrou no trabalho do "Triângulo aritmético", publicado em 1654, diversas propriedades do triângulo e aplicou-as no estudo das probabilidades. Antes de Pascal, já Tartaglia usara o triângulo nos seus trabalhos e, muito antes, os matemáticos árabes e chineses já o utilizavam. Este famoso triângulo que se pode continuar indefinidamente aumentando o número de linhas, é conhecido como Triângulo de Pascal ou Triângulo de Tartaglia. Trata-se de um arranjo triangular de números em que cada número é igual à soma do par de números acima de si. O triângulo de Pascal apresenta inúmeras propriedades e relações, por exemplo, "as somas dos números dispostos ao longo das diagonais do triângulo geram a Sucessão de Fibonacci.

Em correspondência com Fermat, durante o Verão de 1654, Pascal estabeleceu os fundamentos da Teoria das Probabilidades. O seu último trabalho foi sobre a Ciclóide – a curva traçada por um ponto da circunferência que gira, sem escorregar, ao longo de uma linha reta. Durante esse ano desinteressou-se pela ciência; passou os últimos anos da vida a praticar caridade e decidiu dedicar-se a Deus e à religião. Faleceu com 39 anos devido a um tumor maligno que tinha no estômago se ter estendido ao cérebro.

A última cartada de Einstein

Cientistas conseguiram imobilizar por bilionésimos de segundo o rubídio, obtendo o quinto estado da matéria, comprovando na prática o que dizia o cientista Albert Einstein em 1925.

Você tem bastante familiaridade com três estados da matéria: líquido, sólido e gasoso. Você ainda não se acostumou direito com a existência do quarto estado, mas ele já está identificado pela ciência desde a década de 50. É o plasma. Um exemplo? O Sol, que é uma bola de plasma. Pois agora, em julho, pesquisadores norte-americanos encontraram o quinto estado da matéria. Eles conseguiram imobilizar, por bilionésimos de segundo, 2 000 átomos de rubídio. Assim, imóveis, os átomos entraram no quinto estado. Lendo esta reportagem, você vai entender o que é isso. Mas o físico alemão Albert Einstein, morto em 1955, já havia definido esse estado em teoria. Isso em 1925! Das grandes idéias lançadas pelo gênio, era a única que ainda não tinha sido demonstrada. Agora, passados mais de 70 anos, está provado: Einstein estava certo.

Por Flávio Dieguez

Até o século XIX, era muito simples. Os estados da matéria eram três: sólido, líquido e gasoso. No século XX, surgiram dois outros. O quarto, chamado de plasma, não causou grande sensação porque era relativamente simples. Lembrava um gás muito quente, no qual o calor havia desmanchado todos os átomos, separando os seus núcleos dos elétrons que os cercam. O resultado era um gás de núcleos e elétrons, em vez de átomos inteiros como nos gases comuns. O Sol e todas as outras estrelas são assim, grandes esferas de plasma.

A descoberta do quinto estado, em contrapartida, foi um anúncio revolu-cionário. O mundo soube de sua existência num texto publicado por Einstein em 1925. Com esse trabalho, Einstein fechou com chave de ouro uma investigação cujo resultado final tornava iguais a matéria comum, composta por átomos, e a luz, que até a virada do século era apenas um enigma. Em poucas palavras, Einstein disse que, em certas condições, a matéria comum poderia se comportar como a luz.

Essa previsão foi demonstrada em laboratório somente agora uma proeza de dois físicos americanos, Carl Wieman, da Universidade do Colorado, e Eric Cornell, do Instituto Nacional de Padrões e Tecnologia, também no estado do Colorado. Eles tiveram de criar um frio extremo, uma das situações em que o quinto estado surge. Usando uma minúscula amostra de apenas 2 000 átomos de rubídio, um metal prateado sem uso comercial, bateram todos os recordes de resfriamento. Quase alcançaram o zero absoluto, que corresponde a 273 graus Celsius abaixo de zero. Se a marca fosse atingida, os átomos estariam totalmente parados. Mas, embora seja impossível atingir o zero absoluto, o rubídio chegou muito, muito perto: ficou apenas 150 bilionésimos de grau acima da imobilidade total. Então, foi como se os átomos se desmanchassem, porque deixaram de agir como partículas e adotaram o comportamento de uma onda luminosa.

Não é que aquele conjunto de átomos vire luz. É que ele passa a se comportar como se fosse um feixe de luz. Para entender esse fenômeno, é importante mergulhar num dos fascinantes conceitos da Física moderna. Ela define o átomo não apenas como partícula, mas também como onda. Que diabo de onda é essa? É simples. Átomos estão permanentemente em movimento. Sempre. A questão é saber que trajetória ele descreve, a posição exata em que ele se encontra a cada instante, e a que velocidade ele se desloca. Na busca dessas respostas, os físicos perceberam que podiam apontar as velocidades e as posições dos átomos por meio de equações matemáticas usadas para descrever as trajetórias de ondas comuns como a do som. Essas ondas davam a probabilidade de as partículas, em cada instante, ter uma certa velocidade ou posição.

Em temperaturas normais, ou aquecidas, os átomos se movem desordenadamente, e suas ondas são bem complexas. Como um corre-corre em praça pública. É o que se vê em todos os outros estados da matéria. Um corre-corre em maior ou menor grau. Mas, com o intenso resfriamento e a conseqüente lentidão dos movimentos, o que se verificou é que aqueles 2 000 átomos de rubídio ficaram cada vez mais comportados. Suas ondas cresceram muito, e aí se juntaram, formando um grande e único vagalhão. Bem de acordo com a teoria de Einstein.

Essa união é que produz o quinto estado da matéria: um concentrado de átomos marcando passo em ordem unida. É como se fosse um só átomo, um átomo gigante, disse Eric Cornell à SUPER. Não há nada parecido em nenhum lugar do Universo conhecido. Com a sua experiência bem-sucedida, Cornell e Wieman estão abrindo as comportas de tecnologias que hoje nem podemos imaginar.

De que tipo de matéria seria feita a luz? No século passado se imaginava que ela fosse uma onda e ponto. O problema é que ondas não são uma coisa, mas o movimento dessa coisa. Pense nas ondas do mar, que são um movimento da água, ou no som, que é um movimento do ar. A luz, então, teria de ser obrigatoriamente o movimento de uma substância hipotética, imaginada apenas para justificar o conceito de que a luz era uma onda. A essa substância foi dado o nome de éter (para os gregos, o éter designava a quintessência, substância que não era água, nem terra, nem ar e nem fogo.)

No começo do século XX, viu-se que a luz existia também no vácuo. Problema de novo: no vácuo não havia nada que uma onda pudesse balançar. É por isso, aliás, que as ondas de som não se propagam no vácuo. O conceito de éter também encalhou porque ninguém conseguia detectá-lo.

Foi então que Einstein entrou em cena. Em 1905 ele mostrou que a luz tinha um caráter ambíguo. Ela agia como uma estranha onda. Mas em outras circunstâncias deixava ver que era feita de algum tipo de átomo, mais tarde chamado de fóton. Vinte anos adiante, Einstein afirmaria também o oposto: que um gás comum pode se comportar como uma onda luminosa quando atinge o quinto estado.

O pontapé inicial para descobrir que a luz é composta de átomos foi dado, sem querer, pelo alemão Max Planck, em 1900. A questão era a seguinte: se um raio de luz é decomposto em cores, cada cor carrega uma parte da energia original do raio. Exemplo: a 5 000 graus Celsius, a temperatura da superfície do Sol, a maior parte da energia fica com o amarelo. Por isso, ele é amarelo (veja o infográfico ao lado). Planck queria uma fórmula para explicar essa distribuição da energia. Ini- cialmente, bateu cabeça tratando a luz como uma onda. Não chegou a lugar nenhum. Afinal, resolveu repartir a energia da luz em pequenos pacotes (cada pacote recebeu o nome de quantum), como se fossem minúsculas partículas, e matou a charada. Ou melhor: começou a matá-la.

Planck, é bom deixar claro, não sabia bem o que estava fazendo. A repartição da luz em pacotes (os quanta) foi quase um ato de desespero, como descreveriam depois os alemães Jagdish Mehra e Helmut Rechenberg, historiadores da ciência. Coube a Einstein sugerir a hipótese de que a luz era composta por algum tipo de átomo. Isto é, que ela não tinha uma estrutura contínua como acontece com as ondas comuns mas tinha uma estrutura composta de partícula.

O trocadilho é irresistível: foi uma idéia luminosa. O fóton, nome dado ao átomo de luz, tem várias propriedades em comum com os átomos de matéria. O que dá para a luz o aspecto de onda (e este é o ponto genial) é o comportamento ondulatório dos fótons. As ondas do mar movimentam os átomos da água. As ondas de som movimentam os átomos do ar. A luz, não: ela não movimenta os átomos dos outros, mas constitui-se das ondulações dos seus próprios átomos. Ou seja: os átomos também se movimentam como ondas. Da noite para o dia, Einstein se afirmou, junto com Planck, como fundador da mecânica quântica, um ramo da Física que se desenvolveu a partir dos quanta.

Daí para a frente, os fótons viraram a coqueluche da pesquisa de ponta. Graças a eles, descobriu-se que os elétrons giram em torno dos átomos, um feito extraordinário do dinamarquês Niels Bohr em 1911. Em 1925, o francês Louis de Broglie empregou-os para deduzir fórmulas mais precisas das ondas de matéria. Einstein, porém, não aceitava os rumos que sua própria invenção estava tomando nas mãos de outros pesquisadores. E se dedicou integralmente a aprimorar sua teoria da relatividade.

A descoberta do quinto estado da matéria não foi exatamente um motivo de alegria para Albert Einstein. Sua reação foi fria. O físico e historiador da ciência americano Abraham Pais, em seu livro Sutil é o senhor, lançado este ano no Brasil, cita uma carta em que Einstein fala do quinto estado: A teoria é bonita, mas será que contém alguma verdade? Sua dúvida se referia ao método que havia utilizado, o cálculo das probabilidades.

O que se fazia, já antes de Einstein, era mais ou menos o seguinte: em vez de procurar saber que velocidade tinha um determinado átomo dentro de um gás um desafio perfeitamente impossível de se vencer , os pesquisadores lançavam mão das probabilidades para saber qual era a velocidade média do conjunto todo. Ou, no máximo, quantos átomos (aproximadamente) dentro daquele conjunto tinham uma certa velocidade.

Einstein retomou esse método, ampliou-o para outras aplicações e se tornou um mestre incontestável nos anos seguintes. Mas ele achava que era apenas um recurso útil, na falta de uma teoria precisa e consistente.

O caminho aberto por Einstein no campo das probabilidades possibilitou a criação da mecânica quântica, uma das duas principais vertentes da Física contemporânea. Depois, ela tomou caminhos que sofreram restrições de Einstein, mas ele reconhecia sem discutir que ela funcionava esplendidamente. Mesmo porque muitas idéias contidas nela tinham vindo da sua outra teoria, a da relatividade.

A contribuição mais conhecida da relatividade à mecânica quântica é a equação E = mc2, na qual E representa a energia, m é a massa e c é a velocidade da luz (que aparece ao quadrado na fórmula). Significa o seguinte: se você esquentar um bloco de ferro, ele fica mais pesado, porque a energia do calor se transforma em massa. Com a equação dá para calcular o aumento do peso do ferro: menos de 1 bilionésimo de grama, se a temperatura subir 100 graus. Aqui a diferença é desprezível, mas numa bomba atômica é a massa que vira energia, e o resultado é uma explosão avassaladora.

Da mesma forma que a mecânica quântica, a relatividade também nasceu das pesquisas sobre a luz no século passado. Só que, nesse caso, o ponto de partida não foi a estrutura atômica da luz e sim a sua velocidade, que é diferente da velocidade de qualquer outra coisa no Universo.

Começando do começo: imagine dois homens atirando uma pedra a 20 quilômetros por hora em um mesmo alvo. Agora imagine que um dos homens está parado e o outro está dentro de um carro (ele atira a pedra no exato momento em que passa pelo homem parado).

Que pedra chega primeiro ao alvo? Claro: a que foi atirada pelo homem de dentro do automóvel, porque a velocidade da pedra se soma à do carro. Se o carro estiver a 80 quilômetros por hora, não é difícil perceber que a pedra correrá para o alvo a 100 quilômetros por hora, vencendo facilmente a corrida.

Agora imagine que, em vez de atirar uma pedra, os homens acendem seus faróis na direção do alvo. Os dois acendem seus faróis no mesmo instante, a distâncias idênticas. E aí vem o paradoxo: a luz do farol em movimento chega lá exatamente ao mesmo tempo que a luz do farol que está parado. Dezenas de experiências, no século passado, confirmaram esse fato, deixando os físicos sem saber o que fazer.

Einstein teve a sabedoria de aceitar esse comportamento singular da luz e investigar as enormes conseqüências que ele teria para a Física. Uma das mais estranhas conclusões a que ele chegou a é a de que o tempo passa mais devagar em um relógio em movimento, comparado a um relógio parado.

Na década passada, o mundo foi surpreendido por uma descoberta sensacional a respeito de um fenômeno conhecido desde o início do século. Em condições de frio extremo, de menos 270 graus Celsius, os metais podem se tornar supercondutores: significa que deixam passar eletricidade sem oferecer nenhuma resistência. A corrente elétrica fica ali para sempre, até ser usada por alguém. Mas, devido à dificuldade de se reduzir a temperatura na medida adequada, a supercondutividade recebeu pouca atenção.

Foi então que em 1986 os cientistas viram a eletricidade correr sem resistência numa pastilha de cerâmica a uma temperatura de menos 250 graus, e agora já é possível construir supercondutores em condições tórridas, perto de zero grau. E não é só isso: alguns pesquisadores acreditam que uma coisa está ligada à outra. Isto é, dentro dos supercondutores pode haver átomos dançando em unís-sono como aqueles que estão no quinto estado da matéria..

O mesmo se pode dizer da superfluidez, situação em que um líquido sob frio severo começa a fazer coisas esquisitas. Como subir por conta própria pelas paredes do recipiente em que está. Existem mesmo especulações de que o quinto estado, apesar de já não existir no Universo, pode ter tido uma breve existência nos primeiros bilionésimos de segundo do Big Bang (a explosão que teria dado origem ao Universo).

Claro, tudo isso são conjecturas, especulações. Por enquanto, a tarefa número 1 dos físicos é procurar re-petir e, se possível, melhorar a experiência dos americanos Eric Cornell e Carl Wieman. Já existem doze equipes em vários países prontas para isso, conta o físico americano Gary Taubes. E muitos outros devem entrar no páreo rapidamente.

Há pelo menos uma inovação já em vista: descobrir que cara tem o quinto estado. Tudo depende de como os átomos nessas circunstâncias vão interagir com a luz. As apostas variam bastante. Eles podem se tornar opacos a ponto de dar ao conjunto um tom negro profundo. Ou podem refletir um brilho de prata. O próprio Wieman vai recriar o quinto estado e, antes de ele se desfazer, iluminá-lo com um pulso ultra-rápido de laser, para ver sua cor.

É o começo da corrida para ver no que vai dar a última cartada do gênio alemão. Cada uma de suas cartadas mudou conceitos e até a nossa capacidade de imaginar aonde é que o conhecimento humano pode chegar. Em 1905, ele havia feito apenas a primeira parte da teoria da relatividade, na qual analisava o movimento de átomos e estrelas, e já causou uma reviravolta. Mas deixava de fora um ponto essencial: as forças responsáveis por aqueles movimentos. Em 1916, outra reviravolta: depois de passar muitos anos matutando, achou um meio de investigar a força da gravidade. Justamente a mais importante de todas. Como está presente em toda parte, é ela que governa o movimento e a forma dos planetas, estrelas, galáxias e aglomerados de galáxias.

Por isso, ao incorporar a força gravitacional, a teoria da relatividade deu ao homem o meio de estudar a evolução do Universo a partir do Big Bang. A relatividade também foi capaz de prever a existência de astros totalmente diferentes de todos os outros:buracos negros, tão densos que nem a luz pode escapar à sua imensa força gravitacional (veja o infográfico). A comprovação do quinto estado da matéria começa uma outra reviravolta. Nem um pouco menor do que as outras.

Willebrord Van Roijen Snell

Foi um matemático holandês, que nasceu em 1591 e morreu em 1626. Era filho de um professor de Matemática da Universidade de Leiden. Em 1613, sucedeu o pai nessa função. Quatro anos mais tarde, criou um método para determinar distâncias por meio de triangulação trigonométrica. Esse método é utilizado até hoje para executar mapeamentos topográficos. (É a base, inclusive, para os efetuados com auxílio de satélites.)

No campo da Óptica, Snell analisou o desvio que um raio de luz sofre ao passar obliquamente de um meio menos denso a outro mais denso (por exemplo, do ar para a água). Desde o século l já se sabia que esses dois ângulos diferentes, formados entre o raio e a perpendicular à fronteira entre os meios, guardavam entre si uma proporcionalidade que se mantinha mesmo quando a posição da fonte de luz era alterada. Snell refinou essas observações e, através de medidas mais acuradas, descobriu haver uma relação constante entre os senos desses ângulos. Tal conclusão só seria publicada doze anos após sua morte por Descartes, o qual, no entanto, não citou seu autor.

Pitágoras

"Prestem atenção: num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Ou seja: a2=b2+c2. Está claro?" O professor larga o giz e se volta para a classe: "pois este é o enunciado do teorema de Pitágoras. Vamos passar agora à demonstração". Enquanto o professor se vira de novo para o quadro negro, alguns alunos se entreolham: "E quem foi esse Pitágoras?"

Um grego - o nome não engana ninguém. Um matemático - óbvio, caso contrário não faria teoremas. Um gênio - claro, senão quem não se preocuparia com ele e seus teoremas 25 séculos após sua morte? Um astrônomo - bem, vá lá, astronomia e matemática sempre andaram juntas. Mas Pitágoras foi mais que isso: conhecia também música, moral, filosofia, geografia e medicina.

Pitágoras viveu há 2500 anos e não deixou obras escritas. O que se sabe de sua biografia e de suas idéias é uma mistura de lenda e história real. A lenda começa antes mesmo de Pitágoras nascer: por volta de 580 a.C., a sacerdotisa do deus Apolo disse a um casal que vivia na ilha de Samos, no mar Egeu: "Tereis um filho de grande beleza e extraordinária inteligência; será um dos homens mais sábios de todos os tempos." No mesmo ano, o casal teve um filho. Era Pitágoras.

Lenda ou não lenda, a inteligência do jovem Pitágoras assombrava os doutos das melhores escolas de Samos: não conseguiam responder as perguntas do moço de 16 anos. Nessas condições, só havia uma coisa a fazer: despachá-lo a Mileto, para que estudasse com Tales - o maior sábio da época, provavelmente o primeiro grego a se dedicar cientificamente aos números.

Adulto, Pitágoras resolveu ampliar seus interesses. E começou a somar, além dos números, idéias sobre a ciência e a religião de outros povos. Acreditando que era preciso ver para crer, arrumou as malas e disse "até logo" a seus patrícios: foi à Síria, depois à Arábia, à Caldéia, à Pérsia, à Índia e, como última escala, ao Egito, onde passou mais de 20 anos e se fez até sacerdote para melhor conhecer os mistérios da religião egípcia. Dizem que quando Cambises conquistou o Egito, Pitágoras foi levado em cativeiro para a Babilônia. Curioso como era, o grego aproveitou a chance para descobrir em que pé andavam as ciências naquele país.

Muito tempo tinha passado e Pitágoras já dobrava a curva dos 50. Seu desejo era voltar a Samos e abrir uma escola. Mas Samos tinha mudado e o ditador Polícrates, que governava a ilha, não queria saber nem de escolas nem de templos. Aí Pitágoras seguiu adiante, a Crotona, no sul da Itália, onde as melhores famílias da cidade lhe confiaram prazerosamente a educação de seus filhos. E Pitágoras pôde, por fim, fundar sua escola, onde passou a ensinar aritmética, geometria, música e astronomia. E, permeando essas disciplinas, aulas de religião e moral.

Mais que uma escola, Pitágoras conseguira criar uma comunidade religiosa, filosófica e política. Os alunos que formava saíam para ocupar altos cargos do governo local; cientes de sua sabedoria torciam o nariz antes as massas ignorantes e apoiavam o partido aristocrático. Resultado: as massas retrucaram pela violência e - segundo dizem uns - incendiaram a escola, prenderam o professor e o mataram. Outros são mais otimistas: contam que Pitágoras foi só exilado para Metaponto, mais ao norte, na Lucânia, onde morreu, esquecido mas em paz, com mais de 80 anos de idade.

Assim se demonstra o teorema de Pitágoras: somando os quadradinhos dos quadrados menores, que correspondem aos catetos, vê-se que seu número é igual aos do quadrado maior, cujo lado constitui a hipotenusa de um triângulo.

"Tudo são números"

Pitágoras imaginava os números como pontos, que determinam formas. E o Universo, o que é, senão um conjunto de átomos, cuja disposição dá forma à matéria?

De qualquer modo, Pitágoras não se contentava em dizer frases; demonstrou que era necessário provar e verificar geometricamente um enunciado matemático, ou seja, expressá-lo como teorema. E formulou vários, além daquele mais conhecido. Por exemplo: a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a soma de dois ângulos retos (a+b+c=180º); a superfície de um quadrado é igual a multiplicação de um lado por si mesmo. Donde a expressão "elevar ao quadrado": 2x2=22; o volume de um cubo é igual à sua aresta multiplicada três vezes por si mesma: 2x2x2=23, o que originou a expressão "elevar ao cubo".

Pitágoras também mostrou que música e matemática são parentes: o comprimento e a tensão das cordas de uma lira, por exemplo, podem ser convertidos em expressões matemáticas.

O gênio de Samos era um homem religioso, acreditava na transmigração da alma: quando um homem morre, sua alma passa para outro ou para um animal. Só pela vida "pura" a alma poderia libertar-se do corpo e viver no céu. E vida pura significava, para Pitágoras, austeridade, coragem, piedade, obediência, lealdade. Dizia a seus alunos: "Honra os deuses sobre todas as coisas. Honra teu pai e tua mãe. Acostuma-te a dominar a fome, o sono, a preguiça e a cólera". Mas acreditava igualmente numa série de superstições: não comer carne por causa da reencarnação, não comer favas, não atiçar o fogo com ferro, não erguer algo caído do chão.

Melhor meio de purificar a alma, ensinava Pitágoras, era a música. O Universo - afirmava - era uma escala, ou um número musical, cuja própria existência se devia à sua harmonia.

Como astrônomo, seu principal mérito foi conceber o Universo em movimento. Como teórico de medicina, achava que o corpo humano era constituído basicamente por uma harmonia: homem doente era sinal de harmonia rompida. Como filósofo, deu origem a uma corrente que se desenvolveu durante os séculos seguintes, inspirando - entre os principais pensadores gregos - inclusive o famoso Platão.

Leonhard Euler

Nasceu em 15 de abril de 1707, e morreu em 18 de setembro de 1783. Foi o matemático mais prolífico na história. Os 866 livros e artigos dele representam aproximadamente um terço do corpo inteiro de pesquisa em matemática, teorias físicas, e engenharia mecânica publicadas entre 1726 e 1800. Em matemática pura, ele integrou o cálculo diferencial de Leibniz e o método de Newton em análise matemática; refinou a noção de uma FUNÇÃO; criou muitas notações matemáticas comuns, incluindo o e, i, o símbolo do pi e o símbolo do sigma; e pôs a fundação para a teoria de funções especiais, introduzindo as FUNÇÕES TRANSCEDENTAIS beta e gamma.

Euler também trabalhou nas origens do CÁLCULO DE VARIAÇÕES, mas reteve o seu trabalho em deferência para LAGRANGE. Ele foi um pioneiro no campo da TOPOLOGIA e fez TEORIA do NÚMERO em uma ciência, declarando o teorema do número primo e a lei da reciprocidade biquadrática. Em Física, ele articulou dinâmica Newtoniana e colocou a fundação de mecânica analítica, especialmente na sua Teoria dos Movimentos de Corpos Rígidos (1765). Como seu professor Johann Bernoulli, ele elaborou mecânica contínua, mas ele também trabalhou com a teoria cinética de gases com o modelo molecular. Com Alexis CLAIRAUT ele estudou a teoria lunar. Ele também fez pesquisa fundamental em elasticidade, acústica, a teoria de onda de luz, e o hidromecânica de navios.

Euler nasceu em Basel, Suíça. Seu pai, um pastor, queria que o filho seguisse os passos dele e o enviou para a Universidade de Basel para prepará-lo para o ministério, mas geometria se tornou logo o assunto favorito dele. Pela intercessão de Bernoulli, Euler obteve o consentimento de seu pai para mudar para a matemática. Depois de não conseguir uma posição de físico em Basel em 1726, ele se uniu a St. Academia de Ciência de Petersburg em 1727. Quando foram retidos capitais da academia, ele serviu como médico-tenente na marinha russa de 1727 a 1730. Ele se tornou o professor de Física na academia em 1730 e professor de Matemática em 1733, quando ele casou e deixou a casa de Bernoulli. A reputação dele cresceu depois da publicação de muitos artigos e o seu livro Mechanica (1736-37), que apresentou extensivamente pela primeira vez dinâmica Newtoniana na forma de análise matemática.

Em 1741, Euler se juntou à Academia de Ciência de Berlim, onde ele permaneceu durante 25 anos. Em 1744 ele se tornou o diretor da seção de matemática da academia. Durante a permanência dele em Berlim, ele escreveu mais de 200 artigos, três livros em análise matemática, e uma popularização científica, Cartas para Princesa de Alemanha (3 vols., 1768-72). Em 1755 ele foi eleito um membro estrangeiro da Academia de Ciência de Paris; durante sua carreira ele recebeu 12 desses prêmios bienais prestigiosos.

Em 1766, Euler voltou à Rússia, depois de Catherine a Grande fazer-lhe uma oferta generosa. Na ocasião, Euler estava tendo diferenças com Frederick o Grande em cima da liberdade acadêmica e outros assuntos. Frederick ficou enfurecido na partida dele e foi convidado Lagrange a substitui-lo. Na Rússia, Euler se tornou quase completamente cego depois de uma operação de catarata, mas pôde continuar com sua pesquisa e escrevendo. Ele teve uma memória prodigiosa e pôde ditar tratados em óticas, álgebra, e movimento lunar. Em sua morte em 1783, ele deixou uma reserva vasta de artigos. A Academia de St.Petersburg continuou a publicá-los durante os próximos 50 anos.

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Bibliografia: Bell, Eric T., Men of Mathematics (1937; repr. 1986); Boyer, Carl, A History of Mathematics (1968); Spiess, Otto, Leonhard Euler (1929); Truesdell, C., "Leonhard Euler, Supreme Geometer (1707-1783)," in Irrationalism in the Eighteenth Century, ed. by Harold E. Pagliaro (1972).

E se... a gravidade da Terra fosse igual à de Júpiter?

Alexandre Versignassi

 A gasolina seria bem mais barata. Isaac Newton ensinou que uma gravidade dessas só existiria por aqui se o planeta engordasse exatamente 15,6 vezes. Ao engordar, a Terra levaria de bônus sextilhões de toneladas em areia, mar, ouro e (por que não?) petróleo. Imagine viver em um mundo onde ir ao posto encher o tanque do seu carro deixaria de ser o suplício que tem sido atualmente, por causa dos aumentos constantes no preço do combustível. Legal? Seria, não fosse por um probleminha básico: a gravidade de Júpiter é 2,5 vezes maior que a nossa. O suficiente para causar mais destruição ao nosso planeta que qualquer guerra nuclear. Com uma gravidade tão grande, nossos prédios e pontes não agüentariam muito tempo. Nossos corpos, então, agüentariam por muito menos.

Ficar nesse ambiente de hipergravidade seria tão saudável quanto passar o resto da vida num carrinho de montanha russa, sofrendo aquela aceleração toda ininterruptamente. Mais hora, menos hora, o seu corpo pediria arrego: o mais provável é que nossos tecidos se deformariam, nosso cérebro receberia cada vez menos sangue até deixar de funcionar e teríamos hemorragias internas por todo lado.

É que todas as coisas vivas que a gente conhece foram moldadas para funcionar sob uma gravidade nem mais nem menos forte que essa que prende sua bunda no sofá. Não se discute com bilhões de anos de evolução. Tanto que é impossível dizer se formas complexas como você, um ornitorrinco ou uma ameba sequer teriam aparecido numa Terra de gravidade jupiteriana. E não é só por causa dos problemas fisiológicos.

"Para começar, dificilmente choveria num mundo desses", diz o meteorologista Fábio Gonçalves, da USP. O aumento da gravidade achataria a atmosfera, deixando-a 2,5 vezes mais curta. Assim, as nuvens não teriam espaço para crescer a ponto de formar chuva. Pelo menos não na quantidade em que chove hoje. Sem tanta água, é provável que os continentes se transformassem em um desertão.

"O ar ficaria bem rarefeito nos locais acima do nível do mar", explica o geofísico Lon Hood, da Universidade do Arizona. Uma cidade como La Paz, na Bolívia, a 3 660 metros de altitude, seria um lugar tão frio e sem oxigênio quanto o topo do Everest, a 8 848 metros, onde até um alpinista equipado só sobrevive por algumas horas. No fim das contas, talvez seja melhor pagar mais pela gasolina.

TAMANHO NÃO É DOCUMENTO

A gente moraria em um planetão. Quanto maior a gravidade, maior é a massa. Para que a Terra tivesse a mesma gravidade de Júpiter, sua massa teria de aumentar 15,6 vezes – passando de 6 sextilhões de toneladas para 90 sextilhões. Isso deixaria a circunferência do planeta 2,5 vezes maior que a de hoje. A de Júpiter, para comparar, é 11 vezes maior que a nossa. Mas a Terra não precisaria crescer tanto porque é mais densa: tem bem mais massa "por metro quadrado" que o planeta gasoso

53º SALÁRIO

Os anos teriam 52 meses com sete dias cada um. É que a gravidade extra aceleraria a Lua. O satélite iria girar quatro vezes mais rápido, completando uma volta a cada sete dias. Como a idéia de "mês" é baseada no tempo entre duas luas novas, ficaria instituído que um ano tem 52 meses

ALPINISMO ESPACIAL

Para quem gosta de cachecol, seria uma beleza. São Paulo, por exemplo, seria 13 OC mais gelada, em média. Já as montanhas com mais de 5 mil metros ficariam na estratosfera, onde a temperatura pára de diminuir com a altitude. Para chegar ao topo do Everest, que estaria em plena camada de ozônio, sob uma temperatura de -60 OC, só com roupa de astronauta

RESSACA MALFADADA

Acordar nesse mundo depois de uma bebedeira seria o caos: quase não haveria água doce! A gravidade dobrada encolheria a atmosfera, deixando pouco espaço para a formação de nuvens grandes. As fontes de água doce seriam nevoeiros, frutos da evaporação da água do mar. Bichos terrestres, como você, precisariam de um organismo capaz de matar a sede com água salgada

Água na lua

Estudos no jornal Science informaram que três diferentes espaçonaves encontraram evidências de água espalhada na lua. Karen Hopkins informa.

Para todos vocês amantes do amantes do espaço que gostam de rastrear onde a água está, parece que agora vocês podem adicionar nossa própria lua à sua lista. Porque de acordo com as três páginas publicadas no jornal Science, a superfície lunar é mais molhada do que imaginávamos.

Quarenta ano atrás, os astronautas da Apollo trouxeram um aglomerado de pedras lunares para casa. Contudo a maior parte desses exemplares não mostravam nenhum traço de presença de água. Sobre aqueles que pareciam apresentar uma presença mínima de umidade, pensou-se que haviam sido contaminados por água da Terra - porque os containers nos quais eles estavam guardados pareciam estar furados.

Mas agora, os cientistas dizem que encontraram água de verdade na superfície da lua. Usando instrumentos de três diferentes espaçonaves, os cientistas detectaram a assinatura química do bom e velho H2O. E eles acham que a água está emergindo da própria lua. O solo lunar é aproximadamente 50% oxigênio, e os cientistas acham que o hidrogênio vem do vento solar que atinge a superfície da lua.

Ponha os dois juntos e você tem umidade. Não muita, é claro. Existe provavelmente apenas 0.946352946 litro de água em cada tonelada de solo lunar. É mais seco que o Saara. Contudo, mais molhado do que pensamos.

- Karen Hopkins
Este é um artigo da Scientific American.
Traduzido por Vitor S. Chagas – Editor do Blog Clave de Pi

Nicolau Copérnico

Matemático e astrônomo polonês, autor da Teoria Heliocêntrica, segundo a qual o sol é o verdadeiro centro do sol é o verdadeiro centro do sistema solar, devendo-se a sucessão de dias e noites, ao movimento da rotação da Terra sobre seu próprio eixo. Copérnico nasceu em Tourun, na Posnâmia (região polonesa as margens do Vístula) na fronteira com a Alemanha, à 19/02/1453, era filho de um comerciante que o deixou órfão, aos 10 anos. Sua tutela ficou à cargo de seu tio Lucius Waczenrade, Bispo de Erimland. E ele cresceu em meio ao período Renascentista, no qual o saber, bem como a cultura avançaram revulucionariamente. Também serviu a Igreja Católica, o que de certa forma foi positivo, pois lhe dava acesso ao saber entesourado da igreja .

Propriedades planetárias

Em 1491, ingressou na Universidade de Cracóvia, onde estudou, principalmente, matemática. Depois na Universidade de Bolonha estudou grego e em Pádua Medicina. Em 1500 voltou a Polônia, e já como monge, assumiu as funções de cônego em Frauenburg, exercendo a medicina. Como sua verdadeira paixão era a astronomia, teve sua atenção despertada pelo planeta Marte, e de suas observações, veio-lhe as perguntas: - Por que os planetas se tornavam cada vez maiores, mais brilhantes, ao longo de sua trajetória? - Ou cresciam, o que parecia absurdo? - Ou ficavam tão mais perto da Terra? O que certamente, os levava a sair dos epiciclos, onde deveriam permanecer... Diante de suas dúvidas, Copérnico, com sua tranquilidade característica, passou a estudar os pensadores antigos, que ousaram dar um movimento à Terra, e colocar o Sol como centro do Universo. Depois de minuciosos cálculos matemáticos, ele deduziu: A Terra executa um movimento completo em torno de seu eixo. Isso explicaria o movimento do Sol e das Estrelas, produzindo o dia e a noite. Novos cálculos o levaram a atribuir ao Sol o movimento anual, que na verdade é executado pela Terra.

Suas afirmações eram contrárias a Teoria Geocêntrica, que afirmava ser a Terra fixa, e que todos os demais astros, giravam em torno dela. A igreja fundamentava-se na Teoria Geocêntrica, e agia de modo bravio, contra qualquer conceito contrário a esta teoria. A Teoria Geocêntrica, também chamada de Teoria Ptolemaica , por ter sido elaborada por Cláudio Ptolomeu, astrônomo e geógrafo grego do séc. II, dizia que a Terra era imóvel e ao seu redor giravam a Lua, o Sol, os Planetas e as Estrelas. Durante 30 anos, Copérnico, analisando e meditando suas próprias observações, concluiu sua Teoria. Como uma de suas maiores características era ser prudente, de início, apresentou sua teoria como mera hipótese, já que naquela época eram comuns, as condenações por heresia.

As revelações

Copérnico, era eclesiástico, respeitava e temia as autoridades religiosas, para estas, a teoria de Ptolomeu era mais adequada para confirmar, as citações bíblicas, de modo conveniente para a igreja. Temendo contradizê-la, Copérnico, em 1530, apresentou sua teoria apenas entre os astrônomos, num manuscrito chamado Pequenos comentários de Nicolau Copérnico em torno de suas hipóteses sobre os movimentos celestes. Somente em 1540, permitiu que George Joaquim Rhäticus, seu discípulo, publicasse suas idéias, na obra Narrativa acerca das obras de Copérnico sobre revoluções.

Sua obra

Finalmente em 1543, esse mesmo discípulo, fez circular, em Nuremberg, a obra completa de Copérnico - Sobre a revolução das orbes celestes, onde a Teoria Heliocêntrica, era colocada de forma científica, e não como hipótese. Isto se deu sem o conhecimento de Copérnico, que teve exemplar nas mãos, já pronto, às portas de sua morte, em Frauenburg, à 24/05/1543, mesma data em que veio a falecer. Esta publicação, que tinha prefácio dedicado ao papa Paulo III, fora substituído por outro, anônimo, atribuído a Andreas Osiander, que insistia sobre o carater hipotético do novo sistema.

Só após 20 anos da divulgação da pesquisa de Copérnico, o frade dominicano Giordani Bruno acrescentou a Teoria, a idéia do Universo infinito, levantando novamente a polêmica. Por isso, a Inquisição, o condenou a morte. Justo nessa mesma época, iniciava como professor de Universidade Galileu Galilei, que finalmente fez solidificar a Teoria .

A obra de Copérnico foi comprovada por grandes astrônomos e matemáticos como Galileu, Kepler e Newton, mas até 1835, a Igreja a manteve em sua lista negra. Mas sua obra, considerada valiosa e pioneira lhe garantiu a posição de Pai da Astronomia Moderna.

Bhaskara

Nascido numa tradicional família de astrólogos indianos, seguiu a tradição profissional da família, porém com uma orientação científica, dedicando-se mais à parte matemática e astronômica ( tais como o cálculo do dia e hora da ocorrência de eclipses ou das posições e conjunções dos planetas ) que dá sustentação à Astrologia.

Seus méritos foram logo reconhecidos e muito cedo atingiu o posto de diretor do Observatório de Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da India, na época.

Seu livro mais famoso é o Lilavati, um livro bem elementar e dedicado a problemas simples de Aritmética, Geometria Plana (medidas e trigonometria elementar ) e Combinatória. A palavra Lilavati é um nome próprio de mulher (a tradução é Graciosa), e a razão de ter dado esse título a seu livro é porque, provavelmente, teria desejado fazer um trocadilho comparando a elegância de uma mulher da nobreza com a elegância dos métodos da Aritmética. Numa tradução turca desse livro, 400 anos depois, foi inventada a história de que o livro seria uma homenagem à filha que não pode se casar. Justamente essa invenção é que tornou-o famoso entre as pessoas de pouco conhecimento de Matemática e de História da Matemática. Parece, também, que os professores estão muito dispostos a aceitarem estórias românticas em uma área tão abstrata e difícil como a Matemática; isso parece humanizá-la mais.

Ele escreveu dois livros matematicamente importantes e devido a isso tornou-se o matemático mais famoso de sua época. Esses livros são:

Equações INDETERMINADAS ou diofantinas:

chamamos assim às equações (polinomiais e de coeficientes inteiros) com infinitas soluções inteiras, como é o caso de:

• y - x = 1 que aceita todos os x = a e y = a + 1 como soluções , qualquer que seja o valor de a

• a famosa equação de Pell x2 = N y2 + 1

Bhaskara foi o primeiro a ter sucesso na resolução dessa equação, para isso introduzindo o método do chakravala (ou pulverizador).

Mas, e a fórmula de Bhaskara ?

• EXEMPLO:

para resolver as equações quadráticas da forma ax2 + bx = c, os indianos usavam a seguinte regra:

"multiplique ambos os membros da equação pelo número que vale quatro vezes o coeficiente do quadrado e some a eles um número igual ao quadrado do coeficiente original da incógnita. A solução desejada é a raiz quadrada disso."

É também muito importante observar que a falta de uma notação algébrica, bem como o uso de métodos geométricos para deduzir as regras, faziam os matemáticos da Era das Regras terem de usar varias regras para resolver equações do segundo grau. Por exemplo, precisavam de regras diferentes para resolver x2 = px + q e x2 + px = q. Foi só na Era das Fórmulas que iniciaram as tentativas de dar um procedimento único para resolver todas as equações de um grau dado.

Bhaskara conhecia a regra acima, porém, a regra não foi descoberta por ele. A regra já era do conhecimento de, no mínimo, o matemático Sridara, que viveu há mais de 100 anos antes de Bhaskara.

Resumindo o envolvimento de Bhaskara com equações do segundo grau

• Quanto a equações DETERMINADAS do segundo grau:

No Lilavati, Bhaskara não trata de equações quadráticas determinadas e o que ele faz sobre isso no Bijaganita é mera cópia do que já tinham escrito outros matemáticos.

• Quanto a equações INDETERMINADAS do segundo grau:

Aí ele realmente fez grandes contribuições e essas estão expostas no Bijaganita. Pode-se dizer que essas contribuições, principalmente a invenção do método iterativo do chakravala e sua modificação do clássico método kuttaka correspondem ao ápice da matemática indiana clássica, podendo-se acrescentar que é somente com Euler e Lagrange que voltaremos a encontrar desenvoltura técnica e fertilidade de idéias de porte comparáveis.

Bibliografia: Informações do site da UFRGS.

Arquimedes

Nasceu em Siracusa, na Sicília em 287 a.C., e foi educado em Alexandria, no Egito. Consagrou-se à Matemática, mais especialmente à Geometria. Muito jovem ainda começou a distinguir-se por seus trabalhos científicos. De regresso à Siracusa consagrou-se ao estudo da Geometria e da Mecânica, conseguindo descobrir princípios e fazer aplicações que o imortalizaram.

Descobertas: Embora Arquimedes seja mais famoso pelo princípio da Hidrostática que traz seu nome, talvez sejam mais notáveis suas investigações sobre a quadratura do círculo, que vem a ser a descoberta da relação entre a circunferência e o seu diâmetro. Na Hidrostática, o "Princípio de Arquimedes" pode e deve ser considerado uma importante descoberta que determinou grande adiantamento no estudo das ciências físicas e produziu felizes resultados. Possui aplicações nas ciências naturais, na Farmácia e mesmo nas freqüentes atividades do cotidiano. Podemos enunciar esse Princípio em duas partes:

a) Todo corpo submerso em um líquido, desloca desse líquido uma quantidade determinada, cujo volume é exatamente igual ao volume do corpo submerso.

b) O corpo submerso no líquido "perde" de seu peso uma quantidade igual ao peso do volume de líquido igual ao volume submerso do corpo.

Arquimedes inventou a balança que tem seu nome e foi o primeiro a determinar as leis do equilíbrio na balança. As atividades de seu pai, o astrônomo Fídias, influíram, sem dúvida, na vocação e formação científica de Arquimedes que, desde jovem, esteve em Alexandria, onde travou amizade com vários mestres alexandrinos.

Heureca!

De volta a Siracusa, dedicou toda a sua vida à pesquisa científica. Uma das estórias mais conhecidas a respeito de Arquimedes é a da "Coroa de ouro de Hieron", contada da seguinte maneira:

"Entre o grande número de descobertas realizadas por Arquimedes, é necessário assinalar a seguinte: Quando Hieron reinava em Siracusa, propôs oferecer, em um certo templo, uma coroa de ouro aos deuses imortais. Combinou a confecção da obra com um artesão mediante uma boa soma de dinheiro e a entrega da quantidade de ouro em peso. O artesão entregou a coroa na data combinada com o Rei, que a achou executada com perfeição, parecendo que contivesse todo o ouro que lhe havia sido entregue. Sabendo, porém, que o artesão retirara parte do ouro, substituíndo-o por um peso equivalente em prata, o rei, indignado diante desse engodo e não tendo em mãos os meios para provar ao artesão sua fraude, encarregou a Arquimedes que se ocupasse da questão e que com sua inteligência encontrasse esses meios. Um dia em que Arquimedes, preocupado com esse assunto, entrou por acaso em uma casa de banhos, percebeu que à medida que entrava na banheira, a água transbordava da mesma. Esta observação lhe fez descobrir a razão que procurava e, sem mais esperar, pela alegria que este fato lhe produzia, saiu do banho ainda nu e correndo para sua casa, gritava: Heureka! Heureka!, isto é, "encontrei! encontrei!".

Sobre a base desta descoberta, tomou, então, duas massas de igual peso que o da coroa: uma de ouro e outra de prata. Mergulhou depois a massa de prata em um vaso, o que fez sair uma quantidade de água igual ao volume dessa massa; tirou, então, a massa e voltou a encher o vaso com uma quantidade de água igual à que se derramara e que se preocupara em medir, de maneira que pode conhecer a quantidade de água que correspondia à massa de prata que introduzira no vaso. Depois desta experiência, mergulhou igualmente a massa de ouro no vaso cheio de água e, depois de havê-lo retirado, mediu novamente a água transbordada, encontrando que a massa de ouro não deslocara tanta água como a de prata e que a diferença para menos era igual à diferença entre os volumes da massa de ouro e da massa de prata em igual peso. Finalmente, voltou a encher o vaso, mergulhando desta vez a coroa, que deslocou mais água do que deslocara a massa de ouro de igual peso, porém menos que a massa de prata. Calculando, então, de acordo com estas experiências, em quanto a quantidade de água que a coroa desalojara era maior que aquela que deslocara a massa de ouro, soube quanta era a prata que fora misturada ao ouro, mostrando, assim, claramente, a fraude do artesão".

A morte de Arquimedes

A morte de Arquimedes é narrada de diferentes maneiras. Segundo Plutarco, a morte de Arquimedes veio depois que o exército romano conquistou as partes mais importantes da cidade sitiada:

"Tomadas também estas, na mesma manhã marchou Marcelo para os Hexápilos, dando-lhe parabéns todos os chefes que estavam às suas ordens; mas dele mesmo se diz que ao ver e registrar do alto a grandeza e beleza de semelhante cidade, derramou muitas lágrimas, compadecendo-se do que iria acontecer... ...os soldados que haviam pedido se lhes concedesse o direito ao saque... e que fosse incendiada e destruída. Em nada disso consentiu Marcelo e, só por força e com repugnância, condescendeu em que se aproveitassem dos bens e dos escravos... mandando expressamente que não se desse morte, nem se fizesse violência, nem se escravizasse nenhum dos siracusanos... Mas, o que principalmente afligiu a Marcelo foi o que ocorreu com Arquimedes: encontrava-se este, casualmente, entregue ao exame de certa figura matemática e, fixo nela seu espírito e sua vista, não percebeu a invasão dos romanos, nem a conquista da cidade. Apresentou-se-lhe repentinamente um soldado, dando-lhe ordem de que o acompanhasse à casa de Marcelo; ele, porém, não quis ir antes de resolver o problema e chegar até a demonstração; com o que, irritado, o soldado desembainhou a espada e matou-o... Marcelo o sentiu muito e ordenou ao soldado assassino que se retirasse de sua presença como abominável, e mandando buscar os parentes do sábio, tratou-os com o maior apreço e distinção".

Na produção de Arquimedes revela-se exclusivamente o investigador. Seus escritos são verdadeiras memórias científicas, trabalhos originais, nos quais se dá por conhecido todo o produzido antes sobre o tema e apresentam-se elementos novos, próprios. As principais obras de arquimedes foram sobre:

1. A esfera e o cilindro - Um dos mais belos escritos de Arquimedes. Entre os seus resultados, a área lateral do cone e do cilindro.

2. Os conóides e os esferóides. - Refere-se aos sólidos que hoje designamos elipsóide de revolução, parabolóide de revolução e hiperbolóide de revolução.

3. As espirais. - É um estudo monográfico de uma curva plana, hoje chamada espiral de Arquimedes, que se obtém por uma simples combinação de movimentos de rotação e translação. Entre os resultados, encontra-se um processo para retificar a circunferência.

4. A medida do círculo. - Contém apenas 3 proposições e é um dos trabalhos que melhor revela a mente matemática de Aristóteles. Em uma ostentação técnica combinam-se admiravelmente a matemática exata e a aproximada, a aritmética e a geometria, para impulsionar e encaminhar em nova direção o clássico problema da quadratura do círculo.

5. Quadratura da Parábola. - Este escrito oferece o primeiro exemplo de quadratura, isto é, de determinação de um polígono equivalente, de uma figura plana mistilínea: o segmento da parábola.

6. O Arenário. - Arquimedes realiza um estudo, no qual intercala um sistema de numeração próprio, que lhe permite calcular e, sobretudo exprimir quantidades enormes, e uma série de considerações astronômicas de grande importância histórica, pois nelas se alude ao sistema heliocêntrico da antiguidade, devido a Aristarco de Samos.

7. O equilíbrio dos planos. - É o primeiro tratado científico de estática. A alavanca, os centros de gravidade de alguns polígonos, entre outros resultados.

8. Dos corpos flutuantes. (Livro I e II). - As bases científicas da hidrostática.

9. Do método relativo aos teoremas mecânicos. - Arquimedes aproxima-se extraordinariamente de nosso conceitos atuais de cálculo integral.

10. O Stomachion. - É um jogo geométrico, espécie de puzzle, formado por uma série de peças poligonais que completam um retângulo.

11. O problema dos bois. - Um problema referente a teoria dos números.