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sábado, 27 de novembro de 2010

Euclides e a Geometria Dedutiva


 Olá pessoal! Estamos digitalizando mais um texto sobre a história da matemática da coleção Fundamentos da Matemática Elementar. Espero que gostem!
 
Derrotada na batalha de Queronéia pelas forças do rei Felipe, a Grécia torna-se parte do império macedônio no ano de 338 a.C..Dois anos depois , com a morte de Felipe, assume o poder seu filho Alexandre, então com 20 anos de idade. Ao morrer, cerca de 13 anos depois, Alexandre incorporara ao seu império grande parte do mundo civilizado de então. Dessa forma a cultura grega, adotada pelos macedônios (em cuja formação populacional predominava o elemento grego), foi estendida ao Oriente antigo. Em sua arrancada expansionista, Alexandre fundou muitas cidades. Uma delas, em especial, teria um papel extraordinário na história da Matemática: Alexandria, no Egito.
Com a morte de Alexandre, o domínio sobre o Egito passou às mãos de Ptolomeu, um de seus líderes militares. E uma das primeiras e talvez mais importante obra de Ptolomeu foi criar em Alexandria, junto ao Museu (templo às musas), o primeiro modelo do que viriam ser as universidades, séculos depois. Nesse centro, intelectuais do mundo inteiro, trabalhando ali em tempo integral, dedicavam –se às pesquisas e ao ensino às expensas do Estado. Ponto alto da instalação era uma biblioteca, que chegou a ter, no auge de seu esplendor, perto de 700 mil rolos de papiro. Muitos grandes matemáticos trabalharam ou se formaram no Museu. Dentre eles, e um dos mais notáveis, foi Euclides (c. 300 a.C.).
Quase nada se sabe sobre a vida de Euclides, salvo algumas poucas informações esparsas. Mesmo sobre a sua formação matemática não há nenhuma certeza: é possível que tenha sido feita em Atenas, na Academia de Platão. Papus de Alexandria (séc. IV) deixou registrado elogios à sua modéstia e consideração para com os outros. Mas sua presença de espírito talvez possa ser avaliada pela história segundo a qual, a uma indagação de Ptolomeu sobre se haveria um caminho mais curto para a geometria (que o proposto por Euclides), teria respondido:”Não há nenhum caminho real na geometria.”Ou seja, perante a geometria todos são iguais, até reis e poderosos como Ptolomeu.
Embora autor de outros trabalhos, a fama de Euclides praticamente repousa sobre seus Elementos, o mais antigo texto da matemática grega a chegar completo a nossos dias. Obra em treze livros, apesar de na sua maior parte ser uma compilação e sistematização de trabalhos anteriores sobre a matemática elementar da época, seu êxito foi enorme. Haja vista suas mais de mil edições impressas em todo o mundo, desde a primeira em 1482, um feito editorial talvez só superado pela Bíblia.
Os Elementos dedicam um bom espaço à teoria dos números (três livros), mas com o enfoque geométrico que permeia toda sua obra. Euclides representava os números por segmentos de reta, assim como representava o produto de dois números por um retângulo. Contudo, a argumentação usada por ele independe da geometria. Há também no texto um pouco de álgebra geométrica, onde por exemplo, algumas equações do segundo grau são resolvidas geometricamente sendo suas raízes dadas na forma de segmentos de retas.
Mas, sem dúvida, o forte dos Elementos é a geometria. A partir de cinco noções comuns, cinco postulados específicos e algumas definições, centenas de teoremas (467 em toda sua obra) são deduzidos, alguns de grande profundidade. Além de ser o mais antigo texto de matemática na forma axiomático-dedutiva a chegar aos nossos dias, nele Euclides foi muito feliz na escolha e no enunciado de seus postulados básicos. Assim, não é sem motivo que os Elementos, por dois milênios, além de texto fundamental de geometria, foi o modelo de boa matemática.
Falhas em sua estruturação lógica foram sendo achadas ao longo do tempo. Por exemplo a questão da continuidade não foi focalizada, o que levava a Euclides a usar pressupostos não explicitados sobre o assunto. Tudo isso porém chega a ser irrelevante em face a grandiosidade da obra e de sua inigualável influência científica.

Fonte: Fundamentos da Matemática Elementar, Vol. 9, 7ª Edição, página 59.

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